Un post difficile

Basta, adesso scrivo un post difficile.

I sistemi meccanici sono spesso caratterizzati dal numero di gradi di libertà che possiedono. Un campo scalare ha infiniti gradi di libertà. La QFT ha il compito di descrivere sistemi continui ed a infiniti gradi di libertà, come i campi, e deve farlo in modo da poterli quantizzare. Questi due aspetti sono separabili ed anzi devono esserlo. Chiaramente è troppo facile cominciare con un sistema a gradi di libertà discreti, perché in quel caso la quantizzazione sarebbe immediata. In effetti è quello che normalmente si fa. Ma ho detto che questo post sarà difficile, quindi partiamo direttamente da un insieme infinito ma numerabile di gradi di libertà. E guardate che la sto facendo anche facile. Quindi dico che l'energia “macroscopica” di un campo viene espressa come somma di N modi singoli di vibrazione di oscillatori armonici liberi, ognuno dei quali ha un solo grado di libertà. Il fatto che per N grandi anche il numero di gradi sia grande è una diretta conseguenza del fatto che gli oscillatori sono liberi. Se fossero legati non sarebbe più così. Bene, quantizziamo. In QM un oscillatore armonico ha l'energia quantizzata. A seconda del numero quantico n l'energia è diversa ed essa dipende anche dalla frequenza caratteristica di vibrazione. Chiaramente, sommando su tutti gli n, ovvero per n che va da 1 all'infinito, ottengo l'energia del campo elettromagnetico come somma di infiniti oscillatori armonici quantistici. Dunque: campo elettromagnetico significa oscillatore; oscillatore significa onda: onda significa fotoni. Oh che bello: il fotone è il quanto elementare di eccitazione del campo elettromagnetico. La teoria così costruita è sia quantistica che relativistica: abbiamo una teoria di campo quantistica relativistica.
Questa era la parte facile del discorso.
In meccanica classica le forze vengono introdotte tramite i potenziali e la traiettoria seguita da una particella è vincolata alla forma del potenziale. Il principio di minima azione dice quale può essere la traiettoria percorsa dalla particella e le equazioni di Eulero-Lagrange stabiliscono la forma della traiettoria (sono le equazioni del moto, infatti).
Vogliamo che anche quantisticamente succeda la stessa cosa, ovvero vogliamo che le quantità fisiche, cioè le coordinate Lagrangiane, varino nel tempo mentre la funzione d'onda resti fissa. Questa è la visuale di Heisemberg. Il parallelismo con la fisica classica è tutt'altro che ovvio poiché in QM abbiamo a che fare con operatori ed osservabili e non con variabili dinamiche. Infatti non è detto che gli operatori commutino tra di loro. Tuttavia si può fare, ovviamente, è la cosa che viene fuori è l'equazione del moto nella visuale di Heisemberg: la variazione nel tempo di un'osservabile dinamico è data dalla parentesi di commutazione tra l'osservabile stesso e l'operatore Hamiltoniano del sistema, definito dagli operatori p, q e L. Tale equazione dice come un operatore evolve nel tempo. Il principio di minima azione applicato al caso quantistico conduce al famoso integrale di Feynman (altrimenti detto “integrale di cammino” o path integral). Certo, non subito, ma ci si arriva. E per arrivarci bisogna fare alcuni postulati, cioè:

• la probabilità di interazione è data dal modulo quadro dell'ampiezza per l'interazione stessa, ovvero è data dal propagatore che compare nello sviluppo perturbativo;

• questa ampiezza poi deve essere sommata a tutte le altre, considerando tutte le possibili interazioni;

• infatti questa ampiezza totale dipende dall'azione S, ovvero dalla Lagrangiana L, ovvero da tutte le possibili traiettorie (l'azione è l'integrale della Lagrangiana nel tempo lungo ogni percorso possibile).

La formulazione tramite i path integrals è particolarmente semplice quando si vanno a fare i conti e, assieme ai diagrammi di Feynman, permette una trattazione relativamente semplice di tutte le interazioni elettromagnetiche. Vi ricordo che nei diagrammi di Feynman ad ogni vertice corrisponde un termine dipendente dalla costante di accoppiamento, ovvero ad ogni vertice corrisponde un'ampiezza caratteristica.
Ma stiamo divergendo. Non è degli integrali di cammino di cui volevo parlare. Piuttosto, pensiamo di trovare una formulazione matematicamente rigorosa per la quantizzazione del campo elettromagnetico. Ora, trattando esso come integrale di tanti oscillatori armonici quantizzati, viene naturale cercare di esprimere l'hamiltoniano del campo tramite gli operatori di creazione e annichilazione caratteristici degli oscillatori quantistici. E questo ovviamente si può fare e costituisce il teorema di Jordan (non il giocatore di basket). Altra cosa: trattandosi di oscillatori anche l'espansione di Fourier degli operatori è una scelta abbastanza normale. E allora via, esprimiamo gli operatori di creazione e annichilazione come le trasformate di Fourier degli stessi operatori nello spazio dei numeri d'onda k. E allora anche gli operatori di q e p (p è l'operatore la cui osservabile dinamica è la quantità di moto o momento o impulso o come volete, mentre q è l'equivalente della coordinata x) si possono esprimere tramite queste trasformate. Allora tramite le equazioni di Hamilton per le due coordinate coniugate e con il teorema di Jordan possiamo scrivere l'hamiltoniano di interazione come combinazione degli operatori di creazione e distruzione degli oscillatori armonici.

Bene, siamo molto contenti. No? In effetti questo post non è affatto difficile.