Sulla Rinormalizzazione

Stavo per ripondere ai commenti dello scorso post, quando mi sono accorto che il contenuto del commento avrebbe potuto costituire un valido post. Filippo chiede come è possibile che le equazioni di Einstein non siano lineari mentre lo sono quelle di Maxwell e in genere, aggiungo io, quelle che descrivono il Modello Standard. La risposta a questa domanda credo che sia racchiusa in quella che si chiama la "rinormalizzazione" di una teoria. Mi spiego meglio. Le tre forze fondamentali possono essere unite in un unico quadro, come ben sapete voi tutti. Esse sono caratterizzate da costanti di accoppiamento che sono adimensionali. Sappiamo benissimo che \alpha_elettrica = 1/137, e così pure per \alpha_Weak e \alpha_Strong (ovviamente con diversi valori, anche se a dire il vero \alpha_W = 4 \alpha_el, per cui si parla di teoria elettrodebole). Questa adimensionalità non vale però nel caso della costante G. Per convincersene basta seguire questo semplice ragionamento. La legge di gravitazione di Newton, valida, lo ricordo, per masse puntiformi, è del tutto simile alla legge di Coulomb per l'elettrostatica. Si potrebbe interpretare come il limite non-relativistico dell'interazione di scambio (di tipo Yukawa), in cui il quanto di scambio (il cosiddetto gravitone) sia una particella priva di massa, come il fotone. Tuttavia il fatto che nella relazione di Newton appaiano le masse delle particelle pone serie difficoltà. Il perché è presto spiegato. Nel caso elettromagnetico, la teoria delle perturbazioni (che come tutti sanno descrive le interazioni tra particelle) può essere sviluppata in serie (sviluppo di Dyson) e il parametro che vi compare è il numero adimensionale \alpha_el (che chiamerò, d'ora in avanti, semplicemente \alpha). Esso è legato alla costante di accoppiamento e dalla solita \alpha = e^2/4[pigreco] = 1/137, in unità naturali. Con l'apparizione delle masse nell'equazione di Newton V(r) = -GmM/r, la costante G non è più adimensionale, anche nelle unità naturali. E' facile vedere che le dimensioni di G sono [energia] x [lunghezza] x [massa]^(-2). Poiché hc ha dimensioni di [energia] x [lunghezza], si trova che G/hc ha dimensioni di un inverso della massa al quadrato.
Cosa succede se tentiamo di sviluppare una teoria delle perturbazioni (seguendo ad esempio la strada di Feynman) per descrivere le interazioni tra i gravitoni? Sicuramente saprete che le multiple interazioni di scambio quantistiche sono date da integrali sul momento delle particelle virtuali scambiate (quello che prima chiamavo sviluppo di Dyson). Ora, mentre i momenti delle particelle che subiscono l'interazioni sono costretti a seguire i vincoli posti dai valori di laboratorio (ad esempio mi viene in mente l'energia iniziale delle particelle che collidono), nessun vincolo può essere applicato alle particelle virtuali. In merito a questa cosa vi ricordo, miei cari amici lettori, che il momento di un fotone virtuale, ad esempio, è fissato dalla conservazione del momento delle particelle interagenti, solo se viene scambiata una sola particella. Altrimenti bisogna applicare lo sviluppo di Dyson (ricordare ad esempio la teoria ABC svolta con il Pacca). Ne viene che gli integrali divergono quando i momenti delle particelle di scambio tendono all'infinito. Tuttavia, per quanto riguarda il Modello Standard, è possibile trovare un modo affinché i contributi allo sviluppo di Dyson restino finiti e calcolabili. Tale metodo è la cosiddetta rinormalizzazione. La gravitazione, ovviamente, non è rinormalizzabile. C'è infatti un interessante teorema sulla rinormalizzazione che dice che se la costante di accoppiamento ha dimensioni di una potenza inversa della massa, allora la teoria non è rinormalizzabile. Per quanto detto prima, la gravità fa parte di questa categoria di teorie.
Fatte queste premesse, appare chiaro, a mio avviso, che non è possibile formulare una teoria quantistica della gravità con le regole di quantizzazione conosciute. Esse portano ad infiniti nella teoria, e tutti sappiamo benissimo che gli infiniti sono delle brutte bestie. A questo proposito sono state formulate molte teorie che si propongono di risolvere il problema. Qui troverete una lista di tali teorie. Io credo in particolar modo alla LQG. Comunque, vista la lunghezza di questo post, mi fermo qui, ma sono sempre disponibile per ulteriori chiarimenti e precisazioni.