Principio di gauge in QCD

Volevo questa volta continuare il discorso che avevo lasciato a metà qualche tempo fa quando parlavo della simmetria SU(3) rispettata dalle interazioni forti. In effetti mi devo correggere, o perlomeno precisare un po' meglio come stanno le cose. Se vi ricordate, avevo scritto che dato che i colori sono 3, il gruppo di simmetria è l'SU(3). Giusto. Però ho anche detto che i sapori si presentano in 3 generazioni e ce ne sono 2 per ognuna. Vero anche questo. Però i sapori in totale sono 6 (up, down, charm, strange, bottom, top), per cui non è vero che anch'essi rispettano la SU(3). Beh, se presi in due gruppi di tre sapori ciascuno sì. Questo è quanto avevo fatto nel post “Creare Adroni”, cioè avevo assunto i barioni e i mesoni composti solamente dai quark u, d ed s. Questi 3 obbediscono alla SU(3), così come fanno gli altri 3, c, b e t. In totale, quindi, il gruppo di simmetria che governa le dinamiche dei sapori è l'SU(6). Inoltre questo viene “alterato” soltanto dalle interazioni deboli, le uniche in grado di modificare il sapore di un quark. Ma siccome ho detto che i sapori sono 6, due per ogni generazione, il gruppo di simmetria netto delle interazioni deboli è l'SU(2). Infatti le interazioni forti agiscono solo sul colore, ed è per questo che la cromodinamica quantistica (QCD) rispetta la SU(3): la rispetta perché sono i colori a rispettarla. Spero di essere stato chiaro, perché è pure una formalità però è abbastanza importante.
Detto questo, adesso devo riportare la vostra delicata memoria sulle trasformazioni di gauge. So che sono cose che ho scritto un sacco di tempo fa, però servono molto. In particolare serve il principio di gauge che è una sorta di principio di equivalenza (e anche qui dovreste ricordare il mio post sul principio di equivalenza generalizzato). Tale principio sostiene che è praticamente impossibile distinguere lo stato di una particella descritto come interazione di essa con un campo e lo stesso stato descritto come moto libero della particella con un cambiamento locale nella fase della sua funzione d'onda. So che a prima vista può sembrare arabo, soprattutto agli amici non-fisici, ma se ci pensate bene non lo è. Ora, non sto a spiegare questo fatto, che lo si trova ovunque in letteratura, piuttosto al suo legame con la QCD.
Il discorso qui si fa tortuoso ma spero comunque che si riesca a capire almeno l'idea di fondo. Partiamo con il caso più semplice delle interazioni tra fermioni e luce, descritte dalla QED. Le trasformazioni di gauge della QED obbediscono alla simmetria U(1), cioè l'equazione d'onda di una particella libera rimane la stessa se ruotata di una certa fase. Abbiamo quindi un solo parametro libero, ovvero la fase della funzione d'onda della particella che può variare in modo da mantenere invariata la forma dell'equazione d'onda (è quello che si diceva a proposito della covarianza dell'equazione di Schrödinger). Le trasformazioni U(1) sono abeliane, nel senso che non c'è differenza rispetto all'ordine in cui opero le rotazioni (ricordo infatti che un cambiamento di fase matematicamente si traduce nell'introduzione di un termine esponenziale nella funzione d'onda, dove l'esponente, a parte qualche fattore moltiplicativo, è la fase). L'invarianza, o meglio covarianza, della QED rispetto a queste trasformazioni è espressa dalla derivata covariante, che contiene implicitamente la simmetria U(1) dei campi di gauge dei fotoni.
Per le interazioni forti le cose si complicano, in quanto i colori sono tre. Mentre prima avevamo un solo parametro libero su cui poter operare, adesso ne abbiamo tre. La conseguenza è che le rotazioni in questo spazio tridimensionale, detto interno, non sono più indifferenti all'ordine in cui le si effettua, ma dipendono fortemente da questo. Si parla cioè di trasformazioni non-abeliane. Analogamente a quanto si fa in QED, anche in QCD si sfrutta il principio di gauge e si introduce una nuova derivata covariante, la quale, adesso, deve rispettare la simmetria giusta, non più la semplice U(1). Tale simmetria è la famosa SU(3) che entra nella derivata di gauge tramite i generatori del gruppo. Se si fanno i calcoli, la proprietà di non-commutatività di queste matrici (che non c'era nella QED perché il gruppo U(1) è commutativo) fa sì che compaia un termine aggiuntivo nella trasformazione dei campi di gauge che, ora, non è più uno solo – quello elettromagnetico, cioè il fotone – ma sono otto, corrispondenti cioè al numero dei generatori indipendenti del SU(3).
Questo termine aggiuntivo è composto da campi di gauge, i gluoni, e quindi descrive fisicamente le auto-interazioni dei gluoni, possibili sono in QCD e dovute alla non-commutatività del gruppo dei colori.
Tale auto interazione è la presunta causa della proprietà di libertà asintotica dei quark. Questa proprietà, caratteristica ancora una volta soltanto delle interazioni forti, stabilisce che la costante di accoppiamento forte è inversamente proporzionale al quadri-impulso scambiato tra due quark, cioè in pratica alla loro energia. Una costante che non è affatto costante, insomma. E poiché minore è la costante minore è l'accoppiamento, se ne deduce che l'accoppiamento-zero avviene asitoticamente per energie infinite, da qui il termine libertà asintotica. Ora, il motivo di questa asintoticità può essere ricercato nelle auto-interazioni continue dei gluoni che, di fatto, impediscono lo scambio di quark liberi. Tuttavia non è così semplice risolvere questo problema e un modo per farlo è costituito da una variante della QCD 'classica', detta “QCD su reticolo” (in inglese lattice QCD): in poche parole il campo viene quantizzato assumendo che lo spazio sia diviso in griglie, i reticoli, e su questo si costruiscono i campi di gauge dei gluoni. Dicono che questo modo di trattare le cose fornisce la spiegazione cercata per la libertà asintotica dei quark. Ovviamente questi non sono argomenti alla mia portata, quindi davvero non se so di più.

Settimana che finisce, settimana che comincia

Domenica sera, settimana finita, settimana che comincia. Diavolo, come passa il tempo.
Sta mattina, dopo una sveglia alle ore 7.30, siamo andati a giocare a Marghera con i bimbi. Dopo due sconfitte consecutive, oggi è arrivata la tanto sospirata vittoria: 48-7 per noi. Gioia immensa dei bimbi e del loro istruttore preferito (anche perché l'unico). Poi grande pranzo dai parenti per celebrare l'evento (e anche alcuni compleanni). Infine l'immancabile pennichella pomeridiana fino alle cinque e mezza.
Domenica sera, ora di studiare per l'esame ormai fissato per lunedì 25 febbraio. Sono un po' in ritardo con le mie previsioni (volevo farlo PRIMA di Natale...), e anche con lo studio. Merito del fatto che il mio interesse per gli argomenti di questo corso è piuttosto basso e, a dire il vero, non so nemmeno se riuscirò a passarlo. Che palle. Domani dovrò ingegnarmi per farmelo piacere, un ultimo sforzo di un'ultima settimana. Intanto, a tempo perso, sto scrivendo quella famosa tesina sulla Lagrangiana di QCD: diavolo dentro lì c'è tutto! Meccanica quantistica, teoria dei campi, relatività, teoria dei gruppi, geometria differenziale e chi più ne ha più ne metta. Finora ho scritto una decina di pagine abbastanza dense, terminate con la seconda quantizzazione (quella del post difficile, per intenderci). Passerò poi alla scrittura della Lagrangiana di QED e cercherò di far capire perché questa non va bene (o meglio, è incompleta) per la descrizione dei quark. Già sapete dove voglio andare a parare: dal momento che la QCD contiene un numero quantico in più - il colore - e che i quanti di scambio non sono neutri dal punto di vista della carica di colore, bisogna usare la simmetria di gruppo SU(3). Fatto questo è finalmente possibile scrivere la Lagrangiana di QCD come somma di vari termini tra i quali ricordo: il termine contenente il tensore del campo elettromagnetico F, quello contenente la parte dipendente dallo spin (rappresentato dalle matrici di Dirac) e quello dell'accoppiamento dei campi di gauge dei gluoni. Per quanto riguarda quest'ultimo la cosa è complicata dal fatto che ci sono otto campi di gauge interagenti tra di loro e anche con i fermioni che compongono il campo elettromagnetico. Un gran bel casino insomma. Ma ne verrò fuori, non ho dubbi.
Però devo studiare la formazione del Sistema Solare nel dettaglio, nel senso che non so se mi basta saperla così a parole. Nelle dispense che ci ha dato l'assistente del professore non si capisce davvero niente e mi sono stato costretto a cercare su internet qualcosa di più. Quindi chiedo: chi di voi ha già fatto quell'esame, vi ha chiesto queste cose oppure no? E se ve le ha chieste, quale era il grado di preparazione richiesto?
Beh, ora vi lascio. Vorrei tanto leggere un po' di questo libro, ma mi sa che mi toccherà leggere questo. Ahimè, come sono preso male!

PS: parlando d'altro, ho ripreso a leggere Benni, che era da tanto che non lo leggevo più. Ho ricominciato con il libricino "Il bar sotto il mare" però ho già visto che il prossimo sarà "Saltatempo". Chi di voi l'ha letto? Com'è?

Questione di variazioni

Dunque, visto che è da un po’ che mi trattengo, volevo continuare, se me lo consentite, la storia sulla QFT. In particolare oggi volevo parlarvi della quantizzazione dei campi, ovvero di come si passa dalla meccanica quantistica “classica” alla QFT. Lo farò partendo dal campo elettromagnetico e poi estenderemo tale discussione ai campi generici. Prima di addentrarci nella trattazione, vi ricordo le conclusioni alle quali eravamo arrivati fino ad oggi.

• La meccanica quantistica è una teoria probabilistica.

• Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg è ben più importante della conservazione dell’energia (questo lo capiremo meglio quando parleremo delle particelle virtuali).

• Le particelle possono essere rappresentate da una funzione, detta funzione d’onda, il cui modulo quadro fornisce la probabilità di trovare la particella in una certa posizione con una determinata energia.

• La forza coulombiana repulsiva (attrattiva) che si esercita tra due cariche dello stesso (opposto) segno avviene tramite l’interazione mutua dei campi elettrici generati dalle due cariche.

• Può accadere che durante un processo di diffusione venga emesso spontaneamente un fotone, violando apparentemente la conservazione dell’energia. Tale fotone si dice virtuale ed ha la proprietà di trasportare la forza da una carica all’altra (o alla stessa carica).

In base a quanto detto adesso vediamo a grandi linee come si possa quantizzare un campo. Essenzialmente l’idea fondamentale si basa sull’analogia delle equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico con l’equazione di d’Alambert per le onde. In particolare entrambi i tipi di fenomeni hanno un’origine “variazionale”, per così dire; ovvero si basano sui principi variazionali di Hamilton-Lagrange. Questo è un argomento un po’ intricato, anche se di una bellezza ed eleganza sconcertanti. Per comprenderlo a fondo servono concetti e nozioni matematiche che sinceramente vorrei evitare di usare per non appesantire troppo la discussione. D’altra parte, però, tali concetti sono di fondamentale importanza per la teoria quantistica dei campi che, lo ripeto, si basa sui principi primi della meccanica analitica. Quindi cercherò di farvi intuire il concetto che sta alla base del principio variazionale, rimandando qui la trattazione matematica completa.
Essenzialmente il principio variazionale non è altri che il principio di minima azione; per illustrarvelo farò l’esempio di un raggio luminoso: il principio di minima azione applicato alla luce è i principio di Fermat. Allora, il senso è questo: prendete un raggio luminoso (ad esempio quello di un laser) e sparatelo in una certa direzione. Ad esempio potete fissare un bersaglio sul muro e cercate di centrarlo con il raggio laser. Dopo qualche tentativo sono sicuro che ci riuscite e il raggio finisce esattamente dove l’avete puntato. A questo punto voi penserete (giustamente) che il raggio ha percorso la linea retta per arrivare fin là. Ma allora, vi chiedo io, perché ha proprio fatto una linea retta e non è passato, ad esempio, per la stanza di fianco? Cioè vi chiedo: c’è un motivo particolare perché i fotoni viaggiano in linea retta o è solo una coincidenza?
Ebbene esiste un motivo particolare, ovviamente, e tale motivo è il principio di Fermat: il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo. Esiste anche la versione meccanica di tale enunciato e prende il nome di principio di Maupertis: fra le varie possibilità di moto inanimato, la natura sceglie sempre il cammino più vantaggioso. Ovviamente la dimostrazione matematica non è affatto ovvia come l’intuizione ci suggerisce. Tanto meno è ovvia la versione quantistica di tale principio, che si traduce di fatto nel famoso integrale di Feynmann di cui parleremo ampiamente più avanti.
Bene, siccome credo di avervi dato abbastanza su cui pensare, rimando la quantizzazione del campo nel prossimo post.

PS: ho da poco scoperto che oggi a Treviso c'è l'OmbraLonga. E io sto a casa. Diavolo.

Una spiegazione brillante

Mi trovo qui, in camera mia, in accappatoio (mi sono appena fatto la doccia) che cerco su internet una degna spiegazione del Lamb-shift. Ho trovato questo sito che mi ha chiarito un po' le idee, ma i calcoli restano tabù - non che non li sappia fare, ma non ho avuto tempo per prepararli bene, quindi in pratica è come se non li sapessi. Comunque, da quanto ho capito, le cose stanno così. Tutti sanno che gli atomi sono formati dal nucleo più gli elettroni. Le orbite degli elettroni sono quantizzate, ovvero sono caratterizzate da particolari valori dell'energia. Per esempio, per rimuovere l'elettrone in un atomo di idrogeno (H) allo stato fondamentale sono necessari circa 13.6 eV. Questa energia è negativa quando l'elettrone è vincolato all'atomo, perché è dovuta, tra le altre cose, all'attrazione elettrostatica del protone (questa cosa, noi A&A, la chiamiamo buca di potenziale). Però c'è anche lo stato eccitato dell'atomo di H, ovvero quando l'elettrone va ad occupare un livello energetico superiore, e quindi meno legato al protone. Ogni orbitale è caratterizzato da una serie di numeri quantici, tra i quali cito quello principale n e quello di momento angolare orbitale l. Ad esempio, lo stato fondamentale è il 1s, dove il numero rappresenta n e la lettera rappresenta l. Dopo viene il 2s, poi il 2p e così via. Ebbene, vi aspettereste, secondo quanto ho detto, che dopo lo stato 1s venga il 2s e poi il 2p. E invece, nel caso dell'H non è così. Si trova che il 2p è più basso in energia del 2s e questo comporta uno spostamento delle righe spettrali di circa 1040 MHz. La spiegazione di questo fatto risiede, ancora una volta, nella QED (elettrodinamica quantistica): secondo la QED - che è una teoria quantistica di campo - il campo elettromagnetico ha energia di punto zero (energia minima) che è diversa da zero. Questo implica che posso venire generati, grazie ad oscillazioni repentine, fotoni virtuali e coppie elettrone-positrone (che annichilendosi danno luogo ad altri fotoni). Quindi, l'elettrone (che, come avevo detto alcuni post fa, genera il campo elettromagnetico) è soggetto a queste oscillazioni e può essere che venga emesso un fotone virtuale e subito ri-assorbito dal campo. Questo provoca una sorta di sparpagliamento della carica, una sua delocalizzazione insomma, e l'effetto netto è che l'elettrone risente di una attrazione più debole, per cui l'autointerazione (è così che si chiama il processo di creazione-distruzione di un fotone virtuale, detto anche loop) fa sì che sia un po' meno strettamente legato di un elettrone in 2p, ovvero più alto in energia.
Insomma, sono partito da questo per illustrarvi la grande potenza della teoria quantistica dei campi. Anche se non so le formule, spero di avere compreso il fenomeno abbastanza bene da poterlo spiegare al prof domani, nel caso in cui me lo chieda.

In foto: un diagramma di Feynman per l'auto interazione di una particella. Lasciate stare le lettere: ciò che importa è che i fotoni virtuali sono le "ondine", mentre l'elettrone è quello indicato dalle lettere p ed r. Notate che in questa interazione l'elettrone (p) se ne va bello tranquillo in giro, poi ad un tratto, spunta fuori un fotone (q) ma che viene riassorbito immediatamente dopo (r). In sostanza, stiamo parlando di rinormalizzazione.

Andar per campi

Bene, visto che he vi piace la storia del rap, adesso riprendiamo un attimo il discorso della QFT. Premetto che non ne so molto, ma spero ugualmente di darvi le linee generali. Essenzialmente la nascita delle teorie quantistiche di campo è da attribuirsi, fra gli altri, a Richard Feynman. Non è quindi da sorprendersi se leggendo il suo libro, QED, si capisca tutto quanto meglio. Se però non l'avete letto (cosa che io vi consiglio assai), questo post - e forse altri - è fatto proprio per voi. Innanzitutto, visto che si parla di campi quantistici, è bene dare una definizione di campo usata in fisica. Per questo motivo farò un breve excursus storico. Fino alla metà dell'800, si pensava che le forze (come quella gravitazionale, elettrica e magnetica) fossero trasmesse istantaneamente da qualsiasi punto dello spazio. Tuttavia, come potete ben immaginare, era difficile pensare che, ad esempio, la forza tra due calamite si trasmettesse istantaneamente tra i due corpi. Diavolo, come è possibile? Se ad esempio io applico una forza ad un certo oggetto (ovvero lo spingo) esso si muove: per forza, l'ho toccato! Ma nel caso delle calamite, non c'è contatto: la forza agisce anche senza toccare fisicamente i due oggetti. Per questo motivo, ma anche per altri, fu introdotto il concetto di etere: l'etere era in pratica una sostanza che permeava tutto l'Universo e serviva appunto come mezzo per trasmettere le forze. Così, invocando la presenza di questa fantomatica entità, i fisici potevano garantire un filo logico alle osservazioni. Tuttavia le cose non stanno così, per fortuna. Einstein, con la sua teoria delle relatività ha demolito l'etere e ha introdotto il concetto innovativo di campo. Per la verità questo l'aveva già fatto Maxwell nella seconda metà dell'800 con le sue equazioni dell'elettromagnetismo. Comunque, dopo la relatività, si è adottato il concetto di campo i varie circostanze: campo gravitazionale, elettrico, magnetico sono solo alcuni esempi. Poi però ci sono anche altri tipi di campi: ad esempio il campo di temperatura, quello di densità eccetera. Ovviamente c'è una differenza fondamentale con il campo gravitazionale e quello di temperatura, e la vedremo più tardi.
Ma come funziona un campo? Prendiamo ad esempio il campo elettrico. Supponete di avere a disposizione uno stanzone completamente vuoto; non c'è neppure l'aria: è proprio vuoto. Adesso supponete di avere una pinzetta quantistica e di riuscire a isolare un minuscolo elettrone e di metterlo al centro della stanza; abbiamo quindi uno stanzone vuoto con un bell'elettrone al suo interno. L'elettrone, essendo l'unica particella presente, non interagisce con niente e se ne sta lì bello tranquillo (se non considerate gli effetti quantistici che vedremo più avanti) dove l'avete messo. Provate adesso a inserire un altro elettrone e posizionatelo nelle vicinanze del primo: diavolo, vedrete i due elettroni schizzare via in direzioni opposte. Come ben sapete, essi si respingono. Ma cosa è successo realmente? Beh, il primo elettrone, quello che se ne stava beato e pacifico, crea un campo elettrico attorno a se: la sua carica è come se fosse distribuita nello spazio circostante con una legge inversamente proporzionale alla distanza dall'elettrone. Per questo vi ho detto di porre il secondo elettrone nelle vicinanze del primo: se lo mettevate dall'altro lato della stanza, non avrebbe avuto nessun effetto, o comunque qualcosa di davvero trascurabile. Ma quando il secondo elettrone si avvicina al primo, risente del suo campo elettrico. Ma anche il secondo elettrone ha un suo campo elettrico, giusto? Quindi, quando i due campi interagiscono, almeno classicamente, ciascun elettrone risente del campo dell'altro e l'effetto complessivo è quello della repulsione. E così avviene anche per due protoni e, in generale, per due cariche dello stesso segno. Due cariche di segno opposto, invece, si attraggono. Questo è il funzionamento, a grandi linee, di un campo elettrico classico. Vedremo la prossima volta qual'è la differenza fondamentale tra l'elettrodinamica classica e quella quantistica ed estenderemo questo metodo ad altri campi di forza quantistici.

Nella figura: interazione elettrica classica tra due cariche dello stesso segno. Le cariche sono le palline rosse, ovviamente, mentre le linee gialle si chiamano linee di campo e sono in ogni punto tangenti al campo elettrico.

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I pretesti di Deezzle III

Riprendiamo il discorso che avevamo iniziato alcuni migliaia di post fa sulle interazioni fondamentali. Eravamo arrivati alla descrizione di quella elettromagnetica e mi pare di avervi detto che essa viene mediata dal fotone. Ebbene, dal momento in cui questo concetto si rivelerà molto importante per la descrizione della teoria elettrodebole, è bene che vi spiego cosa si intende con questo termine. Prendete, ad esempio, due elettroni e fateli scontrare frontalmente. Se l’energia dei due elettroni non è eccessivamente elevata, dopo l’urto (che sarà di tipo elastico, ovvero i due elettroni “rimbalzano” e poi si separano) avremo ancora due elettroni le cui direzioni saranno diverse a seconda delle direzioni che avevano prima dell’urto. E fin qui niente di scandaloso, spero. Bene. Ora vi dico che possiamo vedere questo urto in due modi: il primo, e forse il più intuitivo, è quello appena menzionato: consideriamo un’interazione puntiforme, ovvero assumiamo che lo scontro tra le due particelle avvenga in un punto. Questo è il modo di vedere le cose di Enrico Fermi: quando i due elettroni si urtano la costante di accoppiamento che determina la “forza” dell’interazione vale \alpha. L’altro metodo è un poco meno intuitivo ma è molto più comodo quando si vanno a fare i calcoli. Essenzialmente questo metodo consiste nel considerare l’urto non come puntiforme ma come uno scambio di energia. Mi spiego meglio. Ciascun elettrone porta con sé una determinata quantità di energia (ad esempio la somma di quella cinetica e a riposo). L’urto, in pratica, è un trasferimento di energia tra i due elettroni, uno scambio insomma. Questo scambio adesso non avviene più direttamente tra i due elettroni (come nella visione di Fermi) ma si assume che l’energia scambiata venga trasportata da un fotone virtuale: in pratica, quando l’elettrone 1 interagisce con il 2, emette un fotone, che ha l’energia dell’elettrone 1, che viene assorbito dall’elettrone 2. La parola “virtuale” sta a significare proprio questo: il fotone non esiste davvero, ma è come se ci fosse. Questa visione delle cose implica che avvengano non una ma due interazioni: l’emissione del fotone virtuale e il suo assorbimento. In questo caso ad ogni interazione è associata la radice quadrata della costante \alpha. Questa assegnazione prende il nome di ampiezza di probabilità e, come tutte le probabilità, va moltiplicata per le ampiezze relative a tutte le altre interazioni. Con due interazioni otteniamo di nuovo la costante \alpha. Tal modo di vedere le interazioni come scambio di fotoni (o in genere di altre particelle) venne ideata dal grande Richard P. Feynman. Si capisce quindi che questa nuova ottica semplifica di molto i calcoli: basta tracciare un diagramma dell’urto (detti diagrammi di Feynman) e moltiplicare tra di loro i vari termini corrispondenti a ciascun vertice. La ampiezza di probabilità totale è il prodotto delle ampiezze di ciascuna interazione. Tutto ciò non è altro che la teoria quantistica dei campi: ad ogni particella è associato un campo e le interazioni del campo di questa particella con gli altri campi delle altre particelle avvengono mediante lo scambio dei quanti del campo. Ogni forza fondamentale ha un suo (o dei suoi) quanti: essi trasmettono l’informazione portata dalla particella corrispondente e la trasferiscono alle altre. E’ chiaro che le cose sono tremendamente più complesse di così, ma per ora ci basta (vi basta) sapere queste nozioni base per il proseguo della nostra trattazione.
Riassumendo, dunque, i fotoni sono i quanti di scambio dell’interazione elettromagnetica. Essi sono bosoni e non hanno carica elettrica.
Prendiamo adesso un neutrone: è noto fin dai tempi più antichi che questa particella ha una vita media di circa un quarto d’ora. Dopo questo mirabile intervallo di tempo essa decade in un protone, un elettrone e un antineutrino dell’elettrone. Forse vi avevo detto che i protoni e i neutroni sono composti da quark. Se non ve l’avevo detto, adesso lo sapete. Più precisamente il neutrone è formato da un quark di tipo u e due di tipo d. Il protone invece è costituito da due quark u e da un d. Risulta evidente, quindi, che nel decadimento sopraccitato (detto convenzionalmente decadimento beta) avviene la trasformazione di un quark d in uno u, con l’emissione aggiuntiva di due leptoni (così si chiamano gli elettroni e i suoi neutrini). Tale decadimento avviene in seguito ad una interazione di tipo debole: il quark d emette un bosone W^- (il quanto, che assieme al compagno W⁺ e al Z⁰ media le interazioni deboli) e si trasforma in un quark u. Il bosone W^- a sua volta decade in un elettrone e in antineutrino. Adesso sappiamo un’altra cosa: le interazione deboli vengono mediate da tre bosoni (massivi) che sono i due carichi W^- e W⁺ e quello neutro, il Z⁰ . Processi che coinvolgono i bosoni W^(+-) si chiamano processi deboli da corrente carica, e quelli che coinvolgono lo Z⁰ sono i processi deboli da corrente neutra. Vi dico, e poi mi fermo, che i processi deboli da correnti carica violano massimamente la parità, ossia non sono invarianti per riflessione speculare. Beh, mi pare di avervi dato molte nozioni in questo post, per cui concludo qui. Rimando al prossimo la spiegazione del concetto di violazione della parità e dell’unificazione elettrodebole.
Adesso mi metto a studiare seriamente, nonostante sia una domenica di sole.

I pretesti di Deenee - II

«Anyone who is not shocked by quantum theory

has not understood a single word.»

Niels Bohr

Continuiamo il discorso che abbiamo intavolato ieri sera sulle interazioni fondamentali. In questo post, cari amici non-fisici, cercherò di illustrarvi le caratteristiche delle interazioni elettromagnetiche, deboli e forti. Sicuramente non ci riuscirò, ma ovviamente ci provo.
Partiamo da quelle elettromagnetiche. Abbiamo visto che la luce è trasportata da particelle dette fotoni: questi fotoni hanno delle proprietà abbastanza strane. Diciamo che sono strane rispetto alla vita quotidiana: in quanto segue voi penserete che io sia diventato matto, ma non è così. Quindi dovete fidarvi e assumere per buono quello che vi racconterò. Ebbene, la prima di queste proprietà è che il fotone ha massa nulla. Ma come?, direte voi. Certo, vi rispondo, il fotone ha massa nulla. Piuttosto lo si può vedere, ed è in effetti il modo usuale con cui viene rappresentato in certi diagrammi, come un'onda, caratterizzata da una certa frequenza (o lunghezza d'onda, se preferite). Moltiplicare la frequenza per una opportuna costante è formidabile in quanto si ottiene proprio l'energia del fotone. Inoltre, avrete sicuramente sentito da qualche parte la famosa formula relativistica E = mc²: essa permette di convertire l'energia in massa e viceversa. Questo è perfetto ai nostri scopi: tale formula si applica nel caso di particelle relativistiche e siccome il fotone è per definizione relativistico (la sua velocità è proprio c) posso applicare la relazione di Einstein e trovo una massa, espressa in [energia]/c². Ecco spiegato il mistero, per cui riassumendo possiamo dire che fotoni di alta frequenza (e quindi alta energia) possiedono una grande massa, mentre fotoni di piccola frequenza hanno masse piccole. Ovviamente ci sono altre proprietà del fotone, molte altre, e tutte le sue interazioni con la materia e con gli altri fotoni sono descritte magistralmente dalla teoria dell'elettrodinamica quantistica (QED). Per il momento lasciamo da parte questa teoria, e passiamo alla descrizione delle altre due forze, escludendo nautralmente la gravitazione.
Nei libri di scuola ci hanno insegnato che le particelle elementari sono tre: l'elettrone, il protone e il neutrone. Ma, mentre l'elettrone è davvero elementare, il protone e il neutrone non lo sono affatto. Si è scoperto infatti che questi due individui sono in realtà composti da altre particelle, i cosiddetti quark. Queste sono le vere particelle elementari. Ebbene, lasciando da parte l'analogia con il nome del programma di Piero Angela, questi affari possiedono delle proprietà ancora più strane del fotone. E quando dico strane, non lo dico tanto per dire. Alcuni di questi quark infatti si chiamano davvero strani, mentre altri sono pieni di charm. Sono questi i nomi che quei burloni dei fisici hanno voluto dare a queste particelle. Assieme a quelli testè menzionati ci sono anche i quark up, down, bottom e top. Li ho messi volutamente in quest'ordine, in quanto l'energia del quark up è più piccola (di molto) di quella del top. L'altra stranezza è che questi affari, pur essendo privi di colore, sono colorati. Certo, vi ho presi in giro: il colore dei quark non è quello che intendiamo noi, ma è piuttosto un nuovo numero quantico che deve essere introdotto per conservare l'asimmetria della funzione d'onda. Probabilmente, voi amici non-fisici, non avrete capito l'ultima frase. Poiché è un concetto importante mi soffermo un attimo e ve la spiego. In meccanica quantistica, la meccanica dei quanti, ogni particella è descritta mediante la sua funzione d'onda. Ricordate cosa vi ho detto per il fotone? Ho detto che esso è una particella caratterizzata da una certa frequenza. Quindi è possibile interpretare il fotone come un'onda - e certe volte risulta molto comodo assumere che la luce sia proprio un'onda. Il comportamento di quest'onda viene descritto matematicamente da una funzione, detta per l'appunto funzione d'onda. Ad esempio, se prendiamo questa funzione, ne isoliamo il segno e la moltiplichiamo per la sua complessa coniugata (solitamente queste funzioni d'onda contegono una parte che dipende dai numeri complessi. Essenzialmente fare il complesso coniugato significa cambiare di segno la parte immaginaria del numero complesso) otteniamo la probabilità che la particella considerata si trovi in un determinato punto dello spazio in un detereminato istante di tempo. Spero che fin qui non ci siano problemi. Ebbene, adesso vi dico che questa funzione d'onda deve descrivere particelle che non vìolino un principio, detto di esclusione, in base al quale non ci possono stare più di due particelle aventi la stessa energia. Non è proprio così, ma per adesso basta questo. Tradotto in parole povere, se ho uno stato con una determinata energia, posso farci stare al massimo due elettroni: uno che ruota in un senso e uno nell'altro. Anche per i quark vale questa cosa: solo due con un'energia. Voi direte: ok, caro Deezzle, allora anche il fotone deve rispettare questa regola, no? Ebbene no: il fotone è furbo e se ne sbatte altamente delle regole. Lui è la luce, e nessuno può metterla in gabbia (tranne i buchi neri, ma per una descrizione più dettagliata vi invito a a leggere qui). Detto questo, scopriamo un'altra importante proprietà delle particelle: ci sono quelle che devono rispettare il principio di esclusione (talvolta chiamato principio di Pauli) e quelle che se ne fregano se rimangono escluse. Le prime le possiamo trovare nelle mani di Enrico Fermi e per questo si chiamano fermioni, mentre le seconde le troviamo in compagnia di Bose e di Einstein e si chiamano pertanto bosoni. Gli elettroni e i quark - e quindi i protoni e neutroni -, così come i neutrini, sono fermioni, mentre i fotoni, e altre particelle che vedremo in seguito, sono bosoni.

Per ora mi fermo qui. Spero di non avervi annoiato con queste chiacchere, ma credetemi: il mondo quantistico è terribilmente strano e a volte divertente pure. La prossima volta vedremo come stanno legati i quark nei nuclei atomici e scopriremo altre cose che ci faranno venire la pelle d'oca.

Sulla Rinormalizzazione

Stavo per ripondere ai commenti dello scorso post, quando mi sono accorto che il contenuto del commento avrebbe potuto costituire un valido post. Filippo chiede come è possibile che le equazioni di Einstein non siano lineari mentre lo sono quelle di Maxwell e in genere, aggiungo io, quelle che descrivono il Modello Standard. La risposta a questa domanda credo che sia racchiusa in quella che si chiama la "rinormalizzazione" di una teoria. Mi spiego meglio. Le tre forze fondamentali possono essere unite in un unico quadro, come ben sapete voi tutti. Esse sono caratterizzate da costanti di accoppiamento che sono adimensionali. Sappiamo benissimo che \alpha_elettrica = 1/137, e così pure per \alpha_Weak e \alpha_Strong (ovviamente con diversi valori, anche se a dire il vero \alpha_W = 4 \alpha_el, per cui si parla di teoria elettrodebole). Questa adimensionalità non vale però nel caso della costante G. Per convincersene basta seguire questo semplice ragionamento. La legge di gravitazione di Newton, valida, lo ricordo, per masse puntiformi, è del tutto simile alla legge di Coulomb per l'elettrostatica. Si potrebbe interpretare come il limite non-relativistico dell'interazione di scambio (di tipo Yukawa), in cui il quanto di scambio (il cosiddetto gravitone) sia una particella priva di massa, come il fotone. Tuttavia il fatto che nella relazione di Newton appaiano le masse delle particelle pone serie difficoltà. Il perché è presto spiegato. Nel caso elettromagnetico, la teoria delle perturbazioni (che come tutti sanno descrive le interazioni tra particelle) può essere sviluppata in serie (sviluppo di Dyson) e il parametro che vi compare è il numero adimensionale \alpha_el (che chiamerò, d'ora in avanti, semplicemente \alpha). Esso è legato alla costante di accoppiamento e dalla solita \alpha = e^2/4[pigreco] = 1/137, in unità naturali. Con l'apparizione delle masse nell'equazione di Newton V(r) = -GmM/r, la costante G non è più adimensionale, anche nelle unità naturali. E' facile vedere che le dimensioni di G sono [energia] x [lunghezza] x [massa]^(-2). Poiché hc ha dimensioni di [energia] x [lunghezza], si trova che G/hc ha dimensioni di un inverso della massa al quadrato.
Cosa succede se tentiamo di sviluppare una teoria delle perturbazioni (seguendo ad esempio la strada di Feynman) per descrivere le interazioni tra i gravitoni? Sicuramente saprete che le multiple interazioni di scambio quantistiche sono date da integrali sul momento delle particelle virtuali scambiate (quello che prima chiamavo sviluppo di Dyson). Ora, mentre i momenti delle particelle che subiscono l'interazioni sono costretti a seguire i vincoli posti dai valori di laboratorio (ad esempio mi viene in mente l'energia iniziale delle particelle che collidono), nessun vincolo può essere applicato alle particelle virtuali. In merito a questa cosa vi ricordo, miei cari amici lettori, che il momento di un fotone virtuale, ad esempio, è fissato dalla conservazione del momento delle particelle interagenti, solo se viene scambiata una sola particella. Altrimenti bisogna applicare lo sviluppo di Dyson (ricordare ad esempio la teoria ABC svolta con il Pacca). Ne viene che gli integrali divergono quando i momenti delle particelle di scambio tendono all'infinito. Tuttavia, per quanto riguarda il Modello Standard, è possibile trovare un modo affinché i contributi allo sviluppo di Dyson restino finiti e calcolabili. Tale metodo è la cosiddetta rinormalizzazione. La gravitazione, ovviamente, non è rinormalizzabile. C'è infatti un interessante teorema sulla rinormalizzazione che dice che se la costante di accoppiamento ha dimensioni di una potenza inversa della massa, allora la teoria non è rinormalizzabile. Per quanto detto prima, la gravità fa parte di questa categoria di teorie.
Fatte queste premesse, appare chiaro, a mio avviso, che non è possibile formulare una teoria quantistica della gravità con le regole di quantizzazione conosciute. Esse portano ad infiniti nella teoria, e tutti sappiamo benissimo che gli infiniti sono delle brutte bestie. A questo proposito sono state formulate molte teorie che si propongono di risolvere il problema. Qui troverete una lista di tali teorie. Io credo in particolar modo alla LQG. Comunque, vista la lunghezza di questo post, mi fermo qui, ma sono sempre disponibile per ulteriori chiarimenti e precisazioni.