Now I know why I love you, SUSY

Vi ho anticipato, ieri, che oggi ci saremo fatti male da soli. Infatti vedremo il succo del discorso: saranno passaggi un po' intricati, ma aldilà delle difficoltà tecniche, cari amici non-fisici, dovreste riuscire a capire almeno il senso del discorso.
Ritornando al problema della gerarchia, mi pare di avervi detto nel post sulla rinormalizzazione, che è possibile rinormalizzare la QFT, ovvero mantenere finiti i termini dello sviluppo perturbativo di Dyson. Questo perché i termini che divergono sono dei logaritmi e si possono troncare inserendo un opportuno parametro di “taglio” (dall’inglese cut-off) alle scale di Planck o di Grande Unificazione. Questa operazione fallisce nel caso dello sviluppo perturbativo del campo di Higgs: questo infatti contiene dei termini quadratici (in primis il quadrato del parametro di cut-off) che non possono essere eliminati. Alcuni dicono che in effetti è possibile eliminare la dipendenza quadratica dal parametro di cut-off; tuttavia questa operazione – che ignoro come si faccia ma se volete mi informo – richiederebbe un accordamento fine (fine-tuning) di una parte su un milione di miliardi (10^15) e deve essere applicata ad ogni ordine dello sviluppo. Questo fine-tuning è senza spiegazione nel MS e di certo non ci si può fidare di una teoria del genere. Inoltre c’è anche da dire che se facciamo tendere la massa dei fermioni a zero, anche la sua correzione tenderebbe a zero, vista la sua dipendenza lineare, e la simmetria aumenterebbe. In questo caso la massa dei fermioni si dice protetta dalla simmetria chirale (ve l’avevo accennata nei post sulle interazioni). Nel caso del bosone di Higgs, la correzione alla sua massa non dipende da questa e la simmetria non aumenta. Ora quindi la massa del bosone di Higgs non è protetta da nessuna simmetria all’interno del MS.
Potremmo però ignorare l’accordamento fine dettato dal parametro di cut-off, ma nella correzione alla massa del bosone di Higgs rimarrebbe la dipendenza quadratica dalla massa del fermione con cui voglia rinormalizzare lo sviluppo. Ad ogni modo, questa correzione sarebbe piccola anche se applicata al quark top e indifferentemente, leptoni e quark potrebbero giocare lo stesso ruolo nella rinormalizzazione.
Ora, alle energie della scala di Planck (o anche a quelle della Grande Unificazione) potrebbe darsi che emergano nuove teorie fisiche, come ad esempio la gravità quantistica o che so io. Con il divergere delle masse degli scalari (un altro modo di chiamare i bosoni), è possibile che la correzione alle loro masse diventi comparabile con queste scale energetiche. Quindi, a meno di un ingiustificato accordamento fine, le masse degli scalari tenderebbero ad avvicinarsi alla massa della particella più pesante predetta dalla teoria.
E qui finalmente viene il bello: se mi avete seguito, sarà per voi facile capire cosa significa quando dico che l’effetto di una particella scalare alla rinormalizzazione della massa del bosone di Higgs produce una correzione che dipende dal quadrato della massa dello scalare stesso. Se faccio quindi tendere a zero questa massa, allora anche la massa del bosone di Higgs viene protetta dalla simmetria chirale, essendo il suddetto bosone uno scalare. Quello che quindi si fa è di porre la massa dei fermioni uguale a quella degli scalari: questo, tecnicamente, viene fatto proprio dalla supersimmetria associando, come ho detto alcuni giorni fa, ad ogni fermione un bosone supersimmetrico e viceversa.
Spero di essere stato abbastanza chiaro: come avete visto, questi argomenti sono piuttosto difficili già per i fisici teorici; figuriamoci per noi A&A.
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Alcuni link (o meglio, un link):
- In questo pdf viene spiegato quello che ho detto io in questi post, con un non troppo eccessivo uso di formule.

Why do I love you, SUSY?

Nel commento del post precedente Filippo mi faceva notare che non ho detto, né giustificato, perché c’è il bisogno di “unificare” bosoni e fermioni. In effetti quello che la supersimmetria (da qui in avanti SUSY) fa non è propriamente l’unificazione di queste due categorie di particelle. Forse mi sono espresso male: infatti bosoni e fermioni sono (e restano anche con la SUSY) due tipi di particelle distinti. Quello che la SUSY fa, invece, è di trovare una relazione, un legame tra di essi. Sicuramente vi starete chiedendo, cari amici non-fisici, perché c’è il bisogno di una relazione tra bosoni e fermioni? Perché non ci possiamo accontentare? Ebbene, il motivo è presto spiegato e prende il nome di gauge hierachy problem (problema della gerarchia di gauge) e cercherò di illustrarvelo.
Avevo accennato, forse nel post sulle stringhe, che il Modello Standard (MS) lascia irrisolti alcuni problemi fondamentali quali la natura ad hoc delle masse delle particelle, gli angoli di mixing dei quark e la storia sulla violazione della CP. Inoltre, un aspetto che viene predetto nel MS ma non è stato verificato sperimentalmente è la storia del famoso bosone di Higgs. In un primo tempo, appena il signor Higgs si accorse di questo piccolo particolare, sembrava che questa particella fosse solo il frutto di una teoria imprecisa. Con il passare degli anni, la teoria del MS si è via via raffinata, andando a includere la scoperta del quark top, oltre alle varie violazioni di CP. Da qualche decennio a questa parte, quindi, si ritiene che il bosone di Higgs esista davvero; anzi, se non ci fosse, il MS prevedrebbe fermioni e bosoni privi di massa. Ovviamente questo non può essere vero, dal momento che le masse degli elettroni e dei bosoni W e Z sono state misurate con sufficiente precisione. Cercherò di spiegarvi brevemente come funziona il meccanismo di Higgs. In Fisica esistono due grandi categorie di campi (vi ricordate la storia della QFT?): ci sono i campi vettoriali e quelli scalari. Esempi di campi vettoriali sono il campo gravitazionale, quello elettrico, magnetico, eccetera. Esempi di campi scalari sono la temperatura, la densità, eccetera. Nei primi, il valore del campo in un punto è un vettore (una freccetta nello spazio caratterizzata da tre parametri: la sua lunghezza, la direzione e il verso), mentre nei secondi il valore è puramente numerico (quello che in gergo si chiama scalare). Tornando al meccanismo di Higgs (detto anche meccanismo di generazione delle masse) vi dico che il campo che descrive il bosone di Higgs (o meglio, quello che descrive le interazioni del bosone di Higgs con gli altri campi) è un campo scalare. Inoltre, tale campo ha una proprietà abbastanza simpatica: quando assume un valore diverso da zero (in realtà dovrei dire: quando assume un valore di aspettazione del vuoto diverso da zero) esso rompe la simmetria che legava assieme interazioni deboli con elettromagnetiche (ricordate?!): quello che ne deriva è che i bosoni W e Z propri delle interazioni deboli acquistano un valore delle masse diverso da zero, mentre rimane nullo il valore della massa del fotone. C’è da dire che il MS non predice la massa che deve avere il bosone di Higgs, ma può stimare un limite superiore di circa 186 GeV.
Nel prossimo post le cose si faranno tremendamente più complicate, ma spero di riuscire a darvi almeno l'idea che sta alla base della SUSY.

Il pretesto finale di Dee

Finalmente, miei cari lettori, siamo arrivati alla fine di questo tortuoso percorso cominciato quasi un mese fa sulle interazioni fondamentali. Questo è l'ultimo post in materia e prometto che non sentirete parlare di queste cose per un po' di tempo: abbiate pazienza, vi chiedo un ultimo sforzo.

Ho detto, alcuni migliaia di post fa, che l’interazione elettromagnetica è mediata dal fotone e che questo ha massa nulla, mentre le interazioni deboli sono mediate anch’essa da dei bosoni che però hanno una massa considerevole. In sostanza si vede già da questo che le due cose hanno qualcosa in comune: entrambe le interazioni sono mediate da bosoni, ovvero da particelle che obbediscono alla medesima statistica (quella di Bose-Einstein, se ben vi ricordate). Già questo potrebbe fare pensare che in realtà non siano poi così tanto diverse queste due interazioni. E infatti è così: ho detto che nell’interazione debole i bosoni che portano carica elettrica sono due, il W⁺ e il W^-. Ebbene, viene naturale pensare che esista anche un W neutro, e questo viene richiesto dalla conservazione di una quantità molto usata in fisica nucleare, l’isospin debole: prendete il protone (p) ed il neutrone (n); entrambi stanno nel nucleo e vengono per questo chiamati nucleoni. Un nucleone, che può essere un p o un n, ha isospin pari ad ½, nel senso che può trovarsi in due stati possibili. Analogamente, nelle interazioni deboli c’è un isospin relativo ai W^(+-) e Z, che valgono rispettivamente 1 e 0. E’ di particolare interesse il valore che assume la componente relativa all’asse z dell’isospin; nel caso del W⁺ essa vale +1 e per il W^- è -1. Ci si aspetta, dunque, anche uno stato con componente z dell’isospin relativo ai W che sia 0, ovvero uno stato I = 1, I_z = 0, e tale stato si indica con W⁰, ovvero un W neutro. Questo però non deve trarre in inganno: il W⁰ appena definito non è assolutamente uguale allo Z⁰, in quanto l’accoppiamento di quest’ultimo dipende dalla carica elettrica. Deve esistere dunque un bosone che sia uno stato di singoletto, ovvero con I = 0 e I_z = 0, e tale bosone si indica con B⁰. Dal punto di vista sperimentale, si conoscono soltanto due tipi di bosoni neutri, ovvero il nostro affezionato fotone e lo Z⁰ che ormai conosciamo. In pratica, quello che hanno fatto Weinberg e soci – e qui veniamo finalmente al succo del discorso di tutti questi dannati post – è stato di esprimere il fotone e lo Z⁰ come combinazione lineare degli stati B⁰ e W⁰; in quest’ottica il fotone e lo Z⁰ sono descritti da funzioni d’onda fra loro ortogonali e i coefficienti della combinazione lineare sono le seni e i coseni di un angolo detto angolo di Weinberg. In pratica possiamo passare dal fotone allo Z⁰ (e viceversa) operando una rotazione dell’angolo di Weinberg. A questo punto è lecito chiedersi quale sia la relazione tra l’angolo di W., la carica elettrica e e le cariche deboli dei bosoni. Questa relazione si ricava richiedendo che il fotone si accoppi a fermioni carichi levogiri o destrogiri, ma mai ai neutrini, al contrario di quanto avveniva per le interazioni deboli, come avevamo visto. Non volevo mettere formule in questa mia trattazione, ma la relazione finale, quella di unificazione, la devo per forza scrivere; essa è:

e = g sin w,

dove g è la carica debole e w è l’angolo di Weinberg.
Alcuni commenti.
Commento 1. L’angolo w viene misurato in diversi modi, ad esempio con l’interazione neutrino-elettrone oppure dal rapporto tra le masse dei W^(+-) e dello Z⁰. Sperimentalmente si trova che (sin w)² = 0.25 = ¼. Non è affatto difficile vedere che elevando al quadrato la relazione precedente e risolvendo rispetto a g², si trova che g² = \alpha_W = 4 e²= 4 \alpha, dove \alpha_W è la costante e di accoppiamento debole e \alpha quella elettromagnetica. Il loro rapporto è dunque quattro.

Commento 2. E’ bene osservare la seguente cosa: nella vita di tutti i giorni, ovvero a basse energie e temperature, le interazioni elettromagnetiche sono ben distinte da quelle deboli. Esse però diventano a tutti gli effetti una sola interazione, quella elettrodebole, alle alte energie. Quando dico alte energie intendo 100 miliardi di elettronvolt, che corrisponderebbe ad una temperatura di circa un milione di miliardi di gradi. Un po’ caldino, non trovate? Tuttavia durante le prime fasi di vita dell’Universo si è andati anche molto più in là, superando i dieci miliardi di miliardi di miliardi di elettronvolt (10¹⁹ di gigaelettronvolt), corrispondenti ad una temperatura di dieci miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di gradi (10²⁸ gradi), in un tempo compreso in dieci miliardesimi di miliardesimi di miliardesimi di miliardesimi di miliardesimi di secondo (10^-37 secondi). Fate voi.

The End

I pretesti di Dee - IV

Mentre da Ema e nei commenti del post precedente si infervora una discussione sull'effetto Doppler, io ho deciso di concludere quella storia sulle interazioni elettrodeboli, così non se ne parla più. Dunque, eravamo rimasti con le definizioni di processi deboli da correnti cariche e neutre. Avevo detto che quelli da correnti cariche violano massimamente la parità. Vediamo un attimo cosa intendiamo con questa affermazione. La mattina, quando andate in bagno, per controllare se siete ben pettinati vi guardate allo specchio. L'immagine riflessa dallo specchio è (quasi) uguale a voi, quindi questo significa che voi, miei cari amici non-fisici, siete invarianti rispetto a riflessione speculare. Anche in fisica le cose funzionano così: le leggi della meccanica classica non cambiano di sostanza se viene effettuata questa riflessione speculare. Per farla è sufficiente sostituire nelle equazioni una variabile che sia l'opposta di quella originaria, ovvero si "cambia il segno" della variabile. Questa operazione di simmetria va sotto il nome di parità e si indica con (che fantasia, direte voi). Naturalmente esistono anche altri tipi di simmetrie come quella per inversione temporale T e la coniugazione di carica C. La simmetria T è in sostanza come la P: si sostituisce, al posto della variabile temporale t, il suo opposto, -t. In pratica, se una legge descrive il moto con velocità uniforme in una data direzione, essa descrive il moto nella stessa direzione ma all'indietro (nel tempo). So che è un concetto abbastanza delicato, e per questo non insisterò. Quello però di cui voglio occuparmi è dell'altra simmetria, la C. L'operazione di C-simmetria consiste nel trasformare una particella nella sua corrispondente antiparticella, ovvero di invertire i suoi numeri quantici. Ci sarebbero da dire molte cose sui numeri quantici delle particelle e l'effetto che C ha su di loro, ma per il momento basta sapere che l'effetto netto è quello di trasformazione: particella --> antiparticella.

Per quanto ho detto, appare a mio avviso abbastanza chiaro il significato della frase di cui sopra: i processi deboli da corrente carica non sono invarianti per riflessione speculare. Questo significa che se un’interazione debole avviene in una determinata direzione, nella direzione opposta avverrà una interazione diversa, non uguale alla prima. Questo è anche visibile abbastanza chiaramente da questa considerazione. In fisica teorica è usuale servirsi di complicate formule matematiche che siano il più compatte possibile ma che allo stesso tempo descrivano quante più cose possibile. A questo proposito un matematico italiano di qualche secolo fa ha inventato un metodo con il quale, da una apparentemente semplice relazione, si possono ricavare importanti informazioni quali ad esempio le leggi del moto e, per quanto riguarda i nostri scopi, le leggi che governano un’interazione. Tale mirabile formula è l’equazione di Lagrange: i più pignoli mi diranno che in realtà dovevo scrivere equazioni di Lagrange. E’ vero, hanno ragione loro: la formula matematica è una sola ma sta a rappresentare tante equazioni quanti sono i parametri in gioco, essendo tali parametri le coordinate lagrangiane. Ma non addentriamoci in questo. La cosa importante è che esiste una funzione, detta con molta fantasia Lagrangiana del sistema, che incorpora tutte le forme di energia che competono a quel sistema. In poche parole, nella Lagrangiana è contenuto tutto quello che a uno può interessare di quel particolare processo. Anche nel caso delle interazioni tra le particelle c’è la Lagrangiana di interazione, e quella che riguarda i processi deboli è particolarmente interessante. Lasciando stare il come venga fuori la roba che sto per dirvi, perché penso che lo sappiano soltanto un paio di persone al mondo e una di queste è sicuramente Weinberg, vi dico che questa Lagrangiana contiene la somma di due contributi che vanno applicati alla funzione d’onda opportuna (vi ricordate la storia della funzione d’onda?). Il primo pezzo rappresenta uno stato con parità positiva, o meglio, con chiralità positiva (in sostanza la chiralità è la proiezione dello spin sulla direzione del moto. A dire il vero questa è l’elicità, ma siccome le due solo legate da complesse relazioni e l’effetto è lo stesso, parlerò soltanto di chiralità. Chiralità positiva significa che la particella è destrogira, come ad esempio lo è una vite; chiralità negativa significa che la particella è levogira, in pratica una vite che gira al contrario) e viene applicato alla funzione d’onda delle antiparticelle (o, se volete, all’antifunzione d’onda delle particelle). Il secondo pezzo ha chiralità negativa e viene applicato alla funzione d’onda delle particelle. Quando dunque si vanno a fare i calcoli con questa Lagrangiana si trova una cosa assai strana (che, casualmente, fa rima): i bosoni W si accoppiano solamente a leptoni levogiri e ad antileptoni destrogiri. Questo effetto è particolarmente importante per i neutrini: non si trovano in natura neutrini destrogiri, e questo è indice del fatto che l’interazione debole ha delle preferenze. Bene, dopo avervi illuminati con queste considerazioni che, mi rendo conto, sono un po’ ostili da digerire, passiamo finalmente all’unificazione delle due interazioni, e qui viene il bello. Ma lo vedremo la prossima volta, ovvero domani.

I pretesti di Deezzle III

Riprendiamo il discorso che avevamo iniziato alcuni migliaia di post fa sulle interazioni fondamentali. Eravamo arrivati alla descrizione di quella elettromagnetica e mi pare di avervi detto che essa viene mediata dal fotone. Ebbene, dal momento in cui questo concetto si rivelerà molto importante per la descrizione della teoria elettrodebole, è bene che vi spiego cosa si intende con questo termine. Prendete, ad esempio, due elettroni e fateli scontrare frontalmente. Se l’energia dei due elettroni non è eccessivamente elevata, dopo l’urto (che sarà di tipo elastico, ovvero i due elettroni “rimbalzano” e poi si separano) avremo ancora due elettroni le cui direzioni saranno diverse a seconda delle direzioni che avevano prima dell’urto. E fin qui niente di scandaloso, spero. Bene. Ora vi dico che possiamo vedere questo urto in due modi: il primo, e forse il più intuitivo, è quello appena menzionato: consideriamo un’interazione puntiforme, ovvero assumiamo che lo scontro tra le due particelle avvenga in un punto. Questo è il modo di vedere le cose di Enrico Fermi: quando i due elettroni si urtano la costante di accoppiamento che determina la “forza” dell’interazione vale \alpha. L’altro metodo è un poco meno intuitivo ma è molto più comodo quando si vanno a fare i calcoli. Essenzialmente questo metodo consiste nel considerare l’urto non come puntiforme ma come uno scambio di energia. Mi spiego meglio. Ciascun elettrone porta con sé una determinata quantità di energia (ad esempio la somma di quella cinetica e a riposo). L’urto, in pratica, è un trasferimento di energia tra i due elettroni, uno scambio insomma. Questo scambio adesso non avviene più direttamente tra i due elettroni (come nella visione di Fermi) ma si assume che l’energia scambiata venga trasportata da un fotone virtuale: in pratica, quando l’elettrone 1 interagisce con il 2, emette un fotone, che ha l’energia dell’elettrone 1, che viene assorbito dall’elettrone 2. La parola “virtuale” sta a significare proprio questo: il fotone non esiste davvero, ma è come se ci fosse. Questa visione delle cose implica che avvengano non una ma due interazioni: l’emissione del fotone virtuale e il suo assorbimento. In questo caso ad ogni interazione è associata la radice quadrata della costante \alpha. Questa assegnazione prende il nome di ampiezza di probabilità e, come tutte le probabilità, va moltiplicata per le ampiezze relative a tutte le altre interazioni. Con due interazioni otteniamo di nuovo la costante \alpha. Tal modo di vedere le interazioni come scambio di fotoni (o in genere di altre particelle) venne ideata dal grande Richard P. Feynman. Si capisce quindi che questa nuova ottica semplifica di molto i calcoli: basta tracciare un diagramma dell’urto (detti diagrammi di Feynman) e moltiplicare tra di loro i vari termini corrispondenti a ciascun vertice. La ampiezza di probabilità totale è il prodotto delle ampiezze di ciascuna interazione. Tutto ciò non è altro che la teoria quantistica dei campi: ad ogni particella è associato un campo e le interazioni del campo di questa particella con gli altri campi delle altre particelle avvengono mediante lo scambio dei quanti del campo. Ogni forza fondamentale ha un suo (o dei suoi) quanti: essi trasmettono l’informazione portata dalla particella corrispondente e la trasferiscono alle altre. E’ chiaro che le cose sono tremendamente più complesse di così, ma per ora ci basta (vi basta) sapere queste nozioni base per il proseguo della nostra trattazione.
Riassumendo, dunque, i fotoni sono i quanti di scambio dell’interazione elettromagnetica. Essi sono bosoni e non hanno carica elettrica.
Prendiamo adesso un neutrone: è noto fin dai tempi più antichi che questa particella ha una vita media di circa un quarto d’ora. Dopo questo mirabile intervallo di tempo essa decade in un protone, un elettrone e un antineutrino dell’elettrone. Forse vi avevo detto che i protoni e i neutroni sono composti da quark. Se non ve l’avevo detto, adesso lo sapete. Più precisamente il neutrone è formato da un quark di tipo u e due di tipo d. Il protone invece è costituito da due quark u e da un d. Risulta evidente, quindi, che nel decadimento sopraccitato (detto convenzionalmente decadimento beta) avviene la trasformazione di un quark d in uno u, con l’emissione aggiuntiva di due leptoni (così si chiamano gli elettroni e i suoi neutrini). Tale decadimento avviene in seguito ad una interazione di tipo debole: il quark d emette un bosone W^- (il quanto, che assieme al compagno W⁺ e al Z⁰ media le interazioni deboli) e si trasforma in un quark u. Il bosone W^- a sua volta decade in un elettrone e in antineutrino. Adesso sappiamo un’altra cosa: le interazione deboli vengono mediate da tre bosoni (massivi) che sono i due carichi W^- e W⁺ e quello neutro, il Z⁰ . Processi che coinvolgono i bosoni W^(+-) si chiamano processi deboli da corrente carica, e quelli che coinvolgono lo Z⁰ sono i processi deboli da corrente neutra. Vi dico, e poi mi fermo, che i processi deboli da correnti carica violano massimamente la parità, ossia non sono invarianti per riflessione speculare. Beh, mi pare di avervi dato molte nozioni in questo post, per cui concludo qui. Rimando al prossimo la spiegazione del concetto di violazione della parità e dell’unificazione elettrodebole.
Adesso mi metto a studiare seriamente, nonostante sia una domenica di sole.