Avevo accennato, alcuni post fa, che vi avrei parlato del principio di equivalenza formulato con la simmetria di gauge. Come prima cosa è bene ricordare cosa intendiamo quando si parla di simmetria di gauge. Questo è un concetto molto importante, grazie al quale si possono formulare le teorie di campo in maniera semplice ed elegante. In natura esistono due grandi tipi di trasformazioni: quelle globali e quelle locali. Per trasformazione globale (anche se più avanti parlerò di invarianza per trasformazione) intendiamo una trasformazione di coordinate tale per cui il suo effetto si riperquote in tutti i punti dello spazio. Per trasformazione locale invece intendo una trasformazione che coinvolge una stretta cerchia di punti, lasciando gli altri invariati. Da queste definizione è chiaro che una teoria che sia invariante rispetto a trasformazioni globali, necessariamente non lo per trasformazioni locali. Tuttavia, introducendo nuovi campi di forza che interagiscono con le particelle originarie in un certo modo - e che trasformano anche in un certo modo sotto trasformazioni locali -, è possibile risptabilire una sorta di invarianza locale. Detto questo, vediamo cosa significa invarianza di gauge. Una trasformazione di gauge è tale per cui le equazioni che descrivono il campo (un qualsiasi campo) rimangono le stesse, a patto di introdurre un nuovo campo scalare. L'invarianza di gauge non è altro che un caso particolare di invarianza locale. Come esempio posso citare l'elettromagnetismo: esprimendo le equazioni di Maxwell servendoci del quadri-potenziale vettore, allora una opportuna trasformazione di tale quadri-vettore lascia inalterate tali equazioni, a patto di inserire nella trasformazione la derivata di un campo scalare. Questo si traduce in quella che si chiama invarianza di fase: le equazioni di Maxwell, sottoposte ad una trasformazione di gauge, rimangono le stesse a meno di una costante, la fase appunto. E' interessante il fatto che l'invarianza di gauge implica la conservazione della carica elettrica. Questo è un punto molto delicato e la sua dimostrazione è affatto semplice; mi limito quindi a dare il risultato. Un altro fatto interessante è che l'equazione d'onda di Schroedinger non è gauge-ivariante. La funzione d'onda cambia in una trasformazione di gauge; tuttavia l'equazione d'onda mantiene la stessa forma, con l'unica differenza che ora la funzione d'onda è quella trasformata. Questa proprietà si esprime dicendo che l'equazione d'onda è gauge-covariante. Non mi addentrerò nei dettagli, rimandando piuttosto a testi specifici.
Quello che mi premeva dire, comunque, era l'analogi tra il princpio di equivalenza e l'invarianza di gauge. Essendo quest'ultima un'invarianza locale, appare chiaro il fatto che esista un legame tra il principio di equivalenza - che si basa proprio sulle trasformazioni locali - e le teorie di gauge. In particolare è stata formulata una teoria di gauge della gravitazione, secondo cui i campi di interazione sono quelli gravitazionali. Di questo non ne parlerò, ma mi soffermo piuttosto sulla prima considerazione.
Non entrando nei dettagli vi dico che è possibile ottenere l'equazione del moto di una particella di massa (inerziale) m_i in uno spaziotempo curvo usando esclusivamente il principio di invarianza di gauge. D'altra parte, le equazioni del campo di Einstein contengono la massa gravitazionale (contenuta nel tensore energia-impulso). L'equivalenza tra le due masse implica che il campo gravitazionale sia descrivibile per mezzo dell'invarianza di gauge. Più precisamente, si può dimostrare il seguente enunciato:
Quello che mi premeva dire, comunque, era l'analogi tra il princpio di equivalenza e l'invarianza di gauge. Essendo quest'ultima un'invarianza locale, appare chiaro il fatto che esista un legame tra il principio di equivalenza - che si basa proprio sulle trasformazioni locali - e le teorie di gauge. In particolare è stata formulata una teoria di gauge della gravitazione, secondo cui i campi di interazione sono quelli gravitazionali. Di questo non ne parlerò, ma mi soffermo piuttosto sulla prima considerazione.
Non entrando nei dettagli vi dico che è possibile ottenere l'equazione del moto di una particella di massa (inerziale) m_i in uno spaziotempo curvo usando esclusivamente il principio di invarianza di gauge. D'altra parte, le equazioni del campo di Einstein contengono la massa gravitazionale (contenuta nel tensore energia-impulso). L'equivalenza tra le due masse implica che il campo gravitazionale sia descrivibile per mezzo dell'invarianza di gauge. Più precisamente, si può dimostrare il seguente enunciato:
E' sempre possibile effettuare una trasformazione di gauge locale in modo tale che, localmente (ovvero in ogni punto), il campo di gauge si annulla.
Tale enunciato prende il nome di principio di equivalenza generalizzato. Ci sto ancora riflettendo, quindi non vi so dare una valida spiegazione. Soprattutto per il fatto che l'analogia si basa sul principio che governa il Modello Standard che, come sappiamo, è sensibilmente diverso dalla Relatività Generale.
____________
Metterò, d'ora in avanti, anche una bibliografia minima da cui prendo spunto per questi post illuminanti.
- Aitchinson, I. J. R., Hey, A. J. G., Gauge Theories In Particle Physics (Graduate Student Series In Physics)
- Lyre, H., A Generalized Equivalence Principle, International Journal of Modern Physics (arXiv:gr-qc/0004054v2)
- Toussaint, M., Gauge Theory Of Gravity, Diploma Thesis (qui)
____________
Metterò, d'ora in avanti, anche una bibliografia minima da cui prendo spunto per questi post illuminanti.
- Aitchinson, I. J. R., Hey, A. J. G., Gauge Theories In Particle Physics (Graduate Student Series In Physics)
- Lyre, H., A Generalized Equivalence Principle, International Journal of Modern Physics (arXiv:gr-qc/0004054v2)
- Toussaint, M., Gauge Theory Of Gravity, Diploma Thesis (qui)
5 commenti:
Beh, niente di sbalorditivo. L'invarianza della carica elettrica, formulabile tramite teorie di gauge, è vera anche in relatività generale, nonostante la carica non compaia esplicitamente nelle equazioni di Einstein. Non stupisce quindi che una teoria gravitazionale di gauge funzioni e porti - guardacaso - al principio di equivalenza. Questo non toglie che siano argomenti su cui meditare parecchio.
Però scusa, ti devo fare un appunto, che tra l'altro spiega anche il collegamento tra gauge elettromagnetica e gauge gravitazionale: la gauge di Lorenz per l'elettromagnetismo comprende sia il 4-potenziale A che il potenziale scalare \Phi: non riguardano solo A. Entrambi i potenziali lasciano inalterate le equazioni se vengono aggiunti ad un potenziale scalare \Psi (o il suo grad nel caso di A). E la cosa figa è che la Lorenz gauge è Lorentz-invariante (occhio a distinguere Lorenz da Lorentz!) quindi l'invarianza di fase è anche un'invarianza relativistica, e questo spiega il fatto che la conservazione della carica elettrica valga anche in relatività generale, che è la prima cosa che ho scritto in questo commento. Direi che il discorso, detto così, sia un pelo più corretto. Con questo però non voglio fare il pedante, eh! :)
Ti ringrazio per la precisazione. Infatti non è un caso che le cose vadano quasi nello stesso modo, ma è parecchio interessante. A mio avviso è una analogia profonda questa di gauge. Non ho capito cosa intendi con "4-potenziale A". Per me il 4-potenziale A = A_{\mu} è formato da quattro componenti, quelle spaziali danno il potenziale vettore A , mentre la componente temporale è \Phi. A questo proposito voglio precisare una cosa: quando parlo di invarianza di gauge, intendo che le equazioni di Maxwell (scritte nella loro forma relativistica) rimangono le stesse se il 4-potenziale A_{\mu}viene sostituito da lo stesso A_{\mu} ma con l'aggiunta di un termine \partial_\mu \chi, essendo \chi una funzione arbitraria. Per il resto concordo con te su tutto ciò che dici, ovviamente.
Sì scusa, errore di battitura: volevo scrivere "3-potenziale A", non "4-potenziale A". Vale la pena fare la distinzione (in ambito classico, ovvero non-tensoriale) perché nella Lorenz gauge compare la divergenza di A e quindi l'equazione del campo rimane invariata se sostituisco A con A+\nabla\Psi (dove il mio \Psi è il tuo \chi, credo), mentre \Phi si può sostituire semplicemente con \Phi+\Psi, perché nella gauge condition compare la sua derivata parziale temporale (all'inizio si usava la gauge di Coulomb per A e si trovava \Phi con l'equazione di Poisson, ma così non si riuscivano a simmetrizzare le equazioni di Maxwell). Comunque sì, detto come lo dici tu è lo stesso perché lo pensi direttamente come un quadrivettore, anzi: in effetti a ben pensarci è ancora più elegante detto come dici tu. Ma a me quello che mi fa sbarellare è il fatto che la stessa Lorenz gauge, che permette l'invarianza relativistica all'equazione di Klein-Gordon, permette anche di introdurre i potenziali ritardati che sono il motivo matematico per cui una carica accelerata produce radiazione [i potenziali vanno con r^(-1) e non con r^(-2) quando la carica è in moto, perché è non-nullo \dot\beta, quindi il vettore di Poynting che rappresenta il flusso di energia, e che è l'integrale del prodotto vettoriale dei campi, ha un valore maggiore rispetto all'analogo statico, in cui l'energia in più si spiega con l'emissione di radiazione di frequenza proporzionale alla variazione di energia cinetica della carica in moto]. Questo mi fa molto riflettere sul significato profondo che può avere la Lorenz gauge, anche se a prima vista può sembrare una cosa messa lì ad hoc per rendere tutto semplice e bello. In realtà è la natura ad essere semplice e bella. Quasi quasi me la farei.
Infatti, bisogna inchinarsi a chi ha concepito la Natura in questo modo. A volte ci penso e dico: ma non è straordinario tutto questo? Troverai che sono completamente d'accordo con te e con PiRaf.
Qui i discorsi iniziano a farsi interessanti......Marco cos'è che mi dovevi dire dopo l'esame, che poi non mi hai detto?
Posta un commento