Un pretesto

«I think I can safely say that

no one understands quantum mechanics.»

Richard P. Feynman

Informo tutti quanti che i giorni 23 e 24 maggio 2007 a Padova ci sarà il premio Nobel per la fisica Steven Weinberg. Qui potete trovare alcune informazioni utili. Tuttavia molti lettori che non sono del mestiere si staranno chiedendo chi diavolo sia questo qui. Quindi, magari, andranno a leggersi una sua biografia da qualche parte e scopriranno che questo personaggio, assieme ad altri due suoi colleghi, una trentina di anni fa ha vinto il premio Nobel per la fisica. In questa biografia ci sarà anche scritto il motivo della premiazione, ovvero la monumentale opera di unificazione delle interazioni elettromagnetiche con quelle deboli in un'unica teoria, la teoria delle interazioni elettrodeboli. Ebbene, cari amici non-fisici, probabilmente vi state chiedendo cosa sia tale teoria e quale significato abbia. Se avete queste domande, allora questo post è fatto apposta per voi. Se invece sapete già tutto o non ve ne importa niente, allora potete anche leggere direttamente il post successivo, che devo ancora scrivere. Quindi ecco quello che farò: siccome è da circa due settimane che sto scrivendo una tesina proprio su questi argomenti, è un tema che sento particolarmente vicino e voi, cari amici non-fisici, dovete assolutamente sapere di cosa si tratta, così capirete, almeno in parte, come funzionano le cose. Dal momento che sono argomenti abbbastanza complessi da trattare senza una corretta impostazione matematica, cercherò di essere il più chiaro possibile e tenterò, dove possibile, di rendere l'argomento più divertente e facile. State con me, cari amici non-fisici, cercate di seguirmi: non vi chiedo tanto, solo un ragionamento dopo l'altro. Un'altra cosa: per illustrarvi sommariamente la teoria elettrodebole è essenzialmente necessaria, oltre ad una buona preparazione matematica, una buona conoscenza della fisica classica e di quella quantistica, in special modo della teoria quantistica dei campi (d'ora in poi QFT). Queste branchie della fisica, soprattutto l'ultima, sono tra le più difficili ed intricate e purtroppo nemmeno noi astronomi/astrofisici (da qui in poi AeA) le sappiamo bene. L'idea che sta alla base della QFT è però abbastanza semplice, come vedremo. Quindi nella descrizione che segue vi darò, quando servono, le nozioni necessarie per la comprensione dei fenomeni. Detto questo, passo subito al succo del discorso.

Quando il cielo è limpido, nelle sere d'estate, come del resto in quelle delle altre tre stagioni, lo spettacolo del tramonto è la cosa più romantica che esiste: mentre il sole sparisce all'orizzonte, il cielo si dipinge di arancio, di rosso, di magenta, di viola, di blu e infine di nero e spuntano le prime stelle. Questa situazione è particolarmente adatta all'accoppiamento del maschio e della femmina e fornisce spunto di molte poesie. Tuttavia noi AeA, come pure i fisici credo, siamo abituati a cercare una spigazione dei fenomeni che ci si parano davanti facendo cospicuo uso delle leggi delle fisica in nostro possesso. Ebbene, tra tutti i fenomeni, anche il tramonto. Dovete sapere che qualcuno (o meglio, lui e lui) una volta mi ha detto che "al tramonto sono presenti tutte e quattro le forze fondamentali". Questo naturalmente è vero anche di giorno, ma detto così è un formidabile contrasto tra il romanticismo del tramonto e la fisica che ci sta dietro. Beh, vediamo quali sono queste forze che "agiscono" al tramonto.
Iniziamo con quella più evidente, ovvero quella che regola il movimento del Sole al di sotto dell'orizzonte terrestre. Tutti sappiamo, ma è sempre bene ricordarlo che non si sa mai, che si tratta della gravità.

L'altra forza fondamentale, anche questa alquanto evidente, è la responsabile dei magnifici colori del cielo, ovvero la luce. Certo, la luce non è una forza, ma i "portatori di luce" sono coloro che la mediano e tale forza è quella elettromagnetica.

Ce ne sono poi altre due, meno evidenti perché non si manifestano macroscopicamente e sono l'interazione forte e quella debole. Questi due tipi di interazioni si manifestano a livello subatomico: la prima è la responsabile della nostra esistenza, ovvero è la forza che tiene assieme i protoni e neutroni nel nucleo degli atomi, mentre la seconda, quella debole, è la responsabile della scarsissima interazione dei neutrini con la materia, oltre che del decadimento del neutrone e altri fenomeni fisici di particolare interesse (per i fisici).

A prima vista, dunque, sembra che queste quattro interazioni siano sconnesse tra di loro: mentre la gravità e l'elettromagnetismo si manifestano macroscopicamente e sappiamo, almeno in parte, le conseguenze che esse provocano, dall'altra parte abbiamo altre due interazioni che, senza l'aiuto degli acceleratori di particelle e ad altri astrusi macchinari, non sapevamo nemmeno esistessero. Ebbene, vi anticipo che, a parte la gravitazione, le altre tre interazioni fondamentali si possono descrivere usando un formalismo comune, la QFT, e che in particolare la forza elettromagnetica e quella debole sono in realtà due aspetti diversi della stessa entità, l'interazione elettrodebole.

Siccome sono stanco e domani devo alzarmi presto, concludo qui il post odierno e rimando il tutto al prossimo. Spero comunque di avervi invogliati, cari amici non-fisici, a volerne sapere di più e quindi a voler leggere (con molta attenzione) il prossimo post che non ho ancora scritto.

Principio di Equivalenza Generalizzato

Avevo accennato, alcuni post fa, che vi avrei parlato del principio di equivalenza formulato con la simmetria di gauge. Come prima cosa è bene ricordare cosa intendiamo quando si parla di simmetria di gauge. Questo è un concetto molto importante, grazie al quale si possono formulare le teorie di campo in maniera semplice ed elegante. In natura esistono due grandi tipi di trasformazioni: quelle globali e quelle locali. Per trasformazione globale (anche se più avanti parlerò di invarianza per trasformazione) intendiamo una trasformazione di coordinate tale per cui il suo effetto si riperquote in tutti i punti dello spazio. Per trasformazione locale invece intendo una trasformazione che coinvolge una stretta cerchia di punti, lasciando gli altri invariati. Da queste definizione è chiaro che una teoria che sia invariante rispetto a trasformazioni globali, necessariamente non lo per trasformazioni locali. Tuttavia, introducendo nuovi campi di forza che interagiscono con le particelle originarie in un certo modo - e che trasformano anche in un certo modo sotto trasformazioni locali -, è possibile risptabilire una sorta di invarianza locale. Detto questo, vediamo cosa significa invarianza di gauge. Una trasformazione di gauge è tale per cui le equazioni che descrivono il campo (un qualsiasi campo) rimangono le stesse, a patto di introdurre un nuovo campo scalare. L'invarianza di gauge non è altro che un caso particolare di invarianza locale. Come esempio posso citare l'elettromagnetismo: esprimendo le equazioni di Maxwell servendoci del quadri-potenziale vettore, allora una opportuna trasformazione di tale quadri-vettore lascia inalterate tali equazioni, a patto di inserire nella trasformazione la derivata di un campo scalare. Questo si traduce in quella che si chiama invarianza di fase: le equazioni di Maxwell, sottoposte ad una trasformazione di gauge, rimangono le stesse a meno di una costante, la fase appunto. E' interessante il fatto che l'invarianza di gauge implica la conservazione della carica elettrica. Questo è un punto molto delicato e la sua dimostrazione è affatto semplice; mi limito quindi a dare il risultato. Un altro fatto interessante è che l'equazione d'onda di Schroedinger non è gauge-ivariante. La funzione d'onda cambia in una trasformazione di gauge; tuttavia l'equazione d'onda mantiene la stessa forma, con l'unica differenza che ora la funzione d'onda è quella trasformata. Questa proprietà si esprime dicendo che l'equazione d'onda è gauge-covariante. Non mi addentrerò nei dettagli, rimandando piuttosto a testi specifici.
Quello che mi premeva dire, comunque, era l'analogi tra il princpio di equivalenza e l'invarianza di gauge. Essendo quest'ultima un'invarianza locale, appare chiaro il fatto che esista un legame tra il principio di equivalenza - che si basa proprio sulle trasformazioni locali - e le teorie di gauge. In particolare è stata formulata una teoria di gauge della gravitazione, secondo cui i campi di interazione sono quelli gravitazionali. Di questo non ne parlerò, ma mi soffermo piuttosto sulla prima considerazione.
Non entrando nei dettagli vi dico che è possibile ottenere l'equazione del moto di una particella di massa (inerziale) m_i in uno spaziotempo curvo usando esclusivamente il principio di invarianza di gauge. D'altra parte, le equazioni del campo di Einstein contengono la massa gravitazionale (contenuta nel tensore energia-impulso). L'equivalenza tra le due masse implica che il campo gravitazionale sia descrivibile per mezzo dell'invarianza di gauge. Più precisamente, si può dimostrare il seguente enunciato:

E' sempre possibile effettuare una trasformazione di gauge locale in modo tale che, localmente (ovvero in ogni punto), il campo di gauge si annulla.

Tale enunciato prende il nome di principio di equivalenza generalizzato. Ci sto ancora riflettendo, quindi non vi so dare una valida spiegazione. Soprattutto per il fatto che l'analogia si basa sul principio che governa il Modello Standard che, come sappiamo, è sensibilmente diverso dalla Relatività Generale.
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Metterò, d'ora in avanti, anche una bibliografia minima da cui prendo spunto per questi post illuminanti.
- Aitchinson, I. J. R., Hey, A. J. G., Gauge Theories In Particle Physics (Graduate Student Series In Physics)
- Lyre, H., A Generalized Equivalence Principle, International Journal of Modern Physics (arXiv:gr-qc/0004054v2)
- Toussaint, M., Gauge Theory Of Gravity, Diploma Thesis (qui)

Sulla Rinormalizzazione

Stavo per ripondere ai commenti dello scorso post, quando mi sono accorto che il contenuto del commento avrebbe potuto costituire un valido post. Filippo chiede come è possibile che le equazioni di Einstein non siano lineari mentre lo sono quelle di Maxwell e in genere, aggiungo io, quelle che descrivono il Modello Standard. La risposta a questa domanda credo che sia racchiusa in quella che si chiama la "rinormalizzazione" di una teoria. Mi spiego meglio. Le tre forze fondamentali possono essere unite in un unico quadro, come ben sapete voi tutti. Esse sono caratterizzate da costanti di accoppiamento che sono adimensionali. Sappiamo benissimo che \alpha_elettrica = 1/137, e così pure per \alpha_Weak e \alpha_Strong (ovviamente con diversi valori, anche se a dire il vero \alpha_W = 4 \alpha_el, per cui si parla di teoria elettrodebole). Questa adimensionalità non vale però nel caso della costante G. Per convincersene basta seguire questo semplice ragionamento. La legge di gravitazione di Newton, valida, lo ricordo, per masse puntiformi, è del tutto simile alla legge di Coulomb per l'elettrostatica. Si potrebbe interpretare come il limite non-relativistico dell'interazione di scambio (di tipo Yukawa), in cui il quanto di scambio (il cosiddetto gravitone) sia una particella priva di massa, come il fotone. Tuttavia il fatto che nella relazione di Newton appaiano le masse delle particelle pone serie difficoltà. Il perché è presto spiegato. Nel caso elettromagnetico, la teoria delle perturbazioni (che come tutti sanno descrive le interazioni tra particelle) può essere sviluppata in serie (sviluppo di Dyson) e il parametro che vi compare è il numero adimensionale \alpha_el (che chiamerò, d'ora in avanti, semplicemente \alpha). Esso è legato alla costante di accoppiamento e dalla solita \alpha = e^2/4[pigreco] = 1/137, in unità naturali. Con l'apparizione delle masse nell'equazione di Newton V(r) = -GmM/r, la costante G non è più adimensionale, anche nelle unità naturali. E' facile vedere che le dimensioni di G sono [energia] x [lunghezza] x [massa]^(-2). Poiché hc ha dimensioni di [energia] x [lunghezza], si trova che G/hc ha dimensioni di un inverso della massa al quadrato.
Cosa succede se tentiamo di sviluppare una teoria delle perturbazioni (seguendo ad esempio la strada di Feynman) per descrivere le interazioni tra i gravitoni? Sicuramente saprete che le multiple interazioni di scambio quantistiche sono date da integrali sul momento delle particelle virtuali scambiate (quello che prima chiamavo sviluppo di Dyson). Ora, mentre i momenti delle particelle che subiscono l'interazioni sono costretti a seguire i vincoli posti dai valori di laboratorio (ad esempio mi viene in mente l'energia iniziale delle particelle che collidono), nessun vincolo può essere applicato alle particelle virtuali. In merito a questa cosa vi ricordo, miei cari amici lettori, che il momento di un fotone virtuale, ad esempio, è fissato dalla conservazione del momento delle particelle interagenti, solo se viene scambiata una sola particella. Altrimenti bisogna applicare lo sviluppo di Dyson (ricordare ad esempio la teoria ABC svolta con il Pacca). Ne viene che gli integrali divergono quando i momenti delle particelle di scambio tendono all'infinito. Tuttavia, per quanto riguarda il Modello Standard, è possibile trovare un modo affinché i contributi allo sviluppo di Dyson restino finiti e calcolabili. Tale metodo è la cosiddetta rinormalizzazione. La gravitazione, ovviamente, non è rinormalizzabile. C'è infatti un interessante teorema sulla rinormalizzazione che dice che se la costante di accoppiamento ha dimensioni di una potenza inversa della massa, allora la teoria non è rinormalizzabile. Per quanto detto prima, la gravità fa parte di questa categoria di teorie.
Fatte queste premesse, appare chiaro, a mio avviso, che non è possibile formulare una teoria quantistica della gravità con le regole di quantizzazione conosciute. Esse portano ad infiniti nella teoria, e tutti sappiamo benissimo che gli infiniti sono delle brutte bestie. A questo proposito sono state formulate molte teorie che si propongono di risolvere il problema. Qui troverete una lista di tali teorie. Io credo in particolar modo alla LQG. Comunque, vista la lunghezza di questo post, mi fermo qui, ma sono sempre disponibile per ulteriori chiarimenti e precisazioni.

Sul Principio di Equivalenza - II

E' giunto il momento di continuare il discorso cominciato qui a proposito del Principio di Equivalenza. Avevo detto che con il mio amico Ema siamo arrivati ad una conclusione piuttosto interessante, sviluppatasi da considerazioni teoriche e del tutto generali. Spiego brevemente di cosa si tratta.

Considerate innanzitutto un corpo, diciamo una sfera omogenea di un certo raggio e una certa massa. Essa crea attorno a sè, come abbiamo visto, un campo gravitazionale (GF), più o meno intenso a seconda del valore della propria massa. Supponiamo di mettere questa sfera in un luogo dello spazio in cui non siano presenti altri corpi, o per meglio dire, supponiamo che non sia soggetta ad alcun tipo di interazione (tranne ovviamente con il suo GF). Prendiamo adesso un'altra sfera, sempre omogenea, della stessa massa di quella precedente ma con raggio (e quindi densità) molto più piccolo. Collochiamola ad una distanza sufficiente affinché essa non interagisca con l'altra sfera. Quello che mi chiedo io è: il GF della seconda sfera è più o meno intenso? Qui, a mio avviso, sorgono alcuni problemi. Vi spiego cosa intendo. A rigor di logica la risposta è sì, il GF della sfera 2 è più intenso di quello della sfera 1. Facciamo però un passo indietro. Ho detto, nel post sopracitato, che l'intensità di un GF la possiamo misurare introducendo quella che si chiama massa di prova: a seconda di come questa viene attratta dal corpo che crea il campo essa risentirà di una forza (sempre attrattiva) diversa, che dipende dall'inverso (al quadrato) della sua distanza. Distanza, ecco il punto. Distanza da dove? Dal centro della sfera? Dalla sua superficie? La legge di Newton è valida in approssimazione di massa puntiforme. Possiamo assumere anche in questo caso tale approssimazione? Abbiamo a che fare con sfere perfettamente omogenee, lontane da qualsiasi altro corpo da non risentire di nessuna forza. Si potrebbe quindi assumere che esse siano masse puntiformi. Ma, essendo puntiformi, non ci dovrebbe essere differenza nelle intensità dei GF, in quanto la distribuzione di massa non li influenza. Sotto questo punto di vista è lecito supporre che i due GF abbiano la stessa intensità. Tuttavia se non ammettiamo l'approssimazione puntiforme, ma andiamo a vedere come la massa sia distribuita in un certo volume, allora in quel caso l'intensità dei due GF è diversa. Poniamoci in questo caso e cerchiamo di misurare l'intensità dei due GF: come possiamo fare? Ricordo che le sfere, infinitamente lontane tra di loro, non interagiscono con niente. Allora, io mi chiedo, qual è la grandezza che posso misurare direttamente? Il campo? La massa? Io rispondo: la massa. Quindi, in assenza di altri corpi, l'unica cosa di cui ha senso parlare è la massa. Una massa gravitazionale, ovviamente. Il campo è una conseguenza della presenza della massa in un determinato punto dello spazio. Pensandola relativisticamente, una massa incurva lo spazio (e il tempo, ma qui non ne parlerò). Questa curvatura è il campo gravitazionale. In assenza di masse cosa possiamo dire? Ha ancora senso parlare di spazio? So bene che queste sono domande che rischiano di diventare equivoche e di sconfinare in territori in cui la fisica ha ben pochi appigli. Resta comunque il dubbio, se ci pensate. Comunque, lasciando stare queste speculazioni e ritornando al nostro discorso, imponiamoci ora di voler misurare l'intensità del GF. A questo proposito dobbiamo per forza di cose introdurre una massa di prova unitaria. In base alla forza che essa risente è possibile raggiungere il nostro scopo. In tal caso, quindi, in base alla definizione data nel post precedente, è plausibile parlare di massa inerziale. Tuttavia una qualsiasi massa, seppur piccola, crea un proprio GF. In tal caso abbiamo l'interazione mutua dei due campi. Certo è che la massa della sfera che crea il campo che vogliamo misurare è molto più grande della massa di prova. Nondimeno la massa di prova attrae la sfera, in virtu del suo GF. Abbiamo quindi di fronte una specie di "principio di indeterminazione" per le masse: in assenza di massa l'unica quantità misurabile è la massa gravitazionale, ma esiste anche il GF, che non sappiamo però misurare. Per farlo ci occorre una massa di prova che introduce un altro GF: anche questo esercita una forza sulla massa precedente e possiamo parlare di massa inerziale. Ma cos'è questa massa inerziale? Possiamo avere massa inerziale quando siamo in presenza di una qualche forza:l'entità che si oppone al moto è detta massa inerziale. In questo caso noi abbiamo una forza, quella gravitazionale. Questa però non si oppone al moto: un GF è tanto più intenso quanto più grande è il valore della massa che crea il campo. Cosa dire dunque? Che le masse inerziale e gravitazionali sono uguali? Ma sono uguali davvero o è un caso del sistema di riferimento di cui facciamo uso? Inoltre, ha davvero senso parlare di massa inerziale? Cercherò, prossimamente, di dare una spiegazione del perché, secondo noi, la massa inerziale non esiste o meglio, non esistono sistemi inerziali.