Now I know why I love you, SUSY

Vi ho anticipato, ieri, che oggi ci saremo fatti male da soli. Infatti vedremo il succo del discorso: saranno passaggi un po' intricati, ma aldilà delle difficoltà tecniche, cari amici non-fisici, dovreste riuscire a capire almeno il senso del discorso.
Ritornando al problema della gerarchia, mi pare di avervi detto nel post sulla rinormalizzazione, che è possibile rinormalizzare la QFT, ovvero mantenere finiti i termini dello sviluppo perturbativo di Dyson. Questo perché i termini che divergono sono dei logaritmi e si possono troncare inserendo un opportuno parametro di “taglio” (dall’inglese cut-off) alle scale di Planck o di Grande Unificazione. Questa operazione fallisce nel caso dello sviluppo perturbativo del campo di Higgs: questo infatti contiene dei termini quadratici (in primis il quadrato del parametro di cut-off) che non possono essere eliminati. Alcuni dicono che in effetti è possibile eliminare la dipendenza quadratica dal parametro di cut-off; tuttavia questa operazione – che ignoro come si faccia ma se volete mi informo – richiederebbe un accordamento fine (fine-tuning) di una parte su un milione di miliardi (10^15) e deve essere applicata ad ogni ordine dello sviluppo. Questo fine-tuning è senza spiegazione nel MS e di certo non ci si può fidare di una teoria del genere. Inoltre c’è anche da dire che se facciamo tendere la massa dei fermioni a zero, anche la sua correzione tenderebbe a zero, vista la sua dipendenza lineare, e la simmetria aumenterebbe. In questo caso la massa dei fermioni si dice protetta dalla simmetria chirale (ve l’avevo accennata nei post sulle interazioni). Nel caso del bosone di Higgs, la correzione alla sua massa non dipende da questa e la simmetria non aumenta. Ora quindi la massa del bosone di Higgs non è protetta da nessuna simmetria all’interno del MS.
Potremmo però ignorare l’accordamento fine dettato dal parametro di cut-off, ma nella correzione alla massa del bosone di Higgs rimarrebbe la dipendenza quadratica dalla massa del fermione con cui voglia rinormalizzare lo sviluppo. Ad ogni modo, questa correzione sarebbe piccola anche se applicata al quark top e indifferentemente, leptoni e quark potrebbero giocare lo stesso ruolo nella rinormalizzazione.
Ora, alle energie della scala di Planck (o anche a quelle della Grande Unificazione) potrebbe darsi che emergano nuove teorie fisiche, come ad esempio la gravità quantistica o che so io. Con il divergere delle masse degli scalari (un altro modo di chiamare i bosoni), è possibile che la correzione alle loro masse diventi comparabile con queste scale energetiche. Quindi, a meno di un ingiustificato accordamento fine, le masse degli scalari tenderebbero ad avvicinarsi alla massa della particella più pesante predetta dalla teoria.
E qui finalmente viene il bello: se mi avete seguito, sarà per voi facile capire cosa significa quando dico che l’effetto di una particella scalare alla rinormalizzazione della massa del bosone di Higgs produce una correzione che dipende dal quadrato della massa dello scalare stesso. Se faccio quindi tendere a zero questa massa, allora anche la massa del bosone di Higgs viene protetta dalla simmetria chirale, essendo il suddetto bosone uno scalare. Quello che quindi si fa è di porre la massa dei fermioni uguale a quella degli scalari: questo, tecnicamente, viene fatto proprio dalla supersimmetria associando, come ho detto alcuni giorni fa, ad ogni fermione un bosone supersimmetrico e viceversa.
Spero di essere stato abbastanza chiaro: come avete visto, questi argomenti sono piuttosto difficili già per i fisici teorici; figuriamoci per noi A&A.
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Alcuni link (o meglio, un link):
- In questo pdf viene spiegato quello che ho detto io in questi post, con un non troppo eccessivo uso di formule.

Why do I love you, SUSY?

Nel commento del post precedente Filippo mi faceva notare che non ho detto, né giustificato, perché c’è il bisogno di “unificare” bosoni e fermioni. In effetti quello che la supersimmetria (da qui in avanti SUSY) fa non è propriamente l’unificazione di queste due categorie di particelle. Forse mi sono espresso male: infatti bosoni e fermioni sono (e restano anche con la SUSY) due tipi di particelle distinti. Quello che la SUSY fa, invece, è di trovare una relazione, un legame tra di essi. Sicuramente vi starete chiedendo, cari amici non-fisici, perché c’è il bisogno di una relazione tra bosoni e fermioni? Perché non ci possiamo accontentare? Ebbene, il motivo è presto spiegato e prende il nome di gauge hierachy problem (problema della gerarchia di gauge) e cercherò di illustrarvelo.
Avevo accennato, forse nel post sulle stringhe, che il Modello Standard (MS) lascia irrisolti alcuni problemi fondamentali quali la natura ad hoc delle masse delle particelle, gli angoli di mixing dei quark e la storia sulla violazione della CP. Inoltre, un aspetto che viene predetto nel MS ma non è stato verificato sperimentalmente è la storia del famoso bosone di Higgs. In un primo tempo, appena il signor Higgs si accorse di questo piccolo particolare, sembrava che questa particella fosse solo il frutto di una teoria imprecisa. Con il passare degli anni, la teoria del MS si è via via raffinata, andando a includere la scoperta del quark top, oltre alle varie violazioni di CP. Da qualche decennio a questa parte, quindi, si ritiene che il bosone di Higgs esista davvero; anzi, se non ci fosse, il MS prevedrebbe fermioni e bosoni privi di massa. Ovviamente questo non può essere vero, dal momento che le masse degli elettroni e dei bosoni W e Z sono state misurate con sufficiente precisione. Cercherò di spiegarvi brevemente come funziona il meccanismo di Higgs. In Fisica esistono due grandi categorie di campi (vi ricordate la storia della QFT?): ci sono i campi vettoriali e quelli scalari. Esempi di campi vettoriali sono il campo gravitazionale, quello elettrico, magnetico, eccetera. Esempi di campi scalari sono la temperatura, la densità, eccetera. Nei primi, il valore del campo in un punto è un vettore (una freccetta nello spazio caratterizzata da tre parametri: la sua lunghezza, la direzione e il verso), mentre nei secondi il valore è puramente numerico (quello che in gergo si chiama scalare). Tornando al meccanismo di Higgs (detto anche meccanismo di generazione delle masse) vi dico che il campo che descrive il bosone di Higgs (o meglio, quello che descrive le interazioni del bosone di Higgs con gli altri campi) è un campo scalare. Inoltre, tale campo ha una proprietà abbastanza simpatica: quando assume un valore diverso da zero (in realtà dovrei dire: quando assume un valore di aspettazione del vuoto diverso da zero) esso rompe la simmetria che legava assieme interazioni deboli con elettromagnetiche (ricordate?!): quello che ne deriva è che i bosoni W e Z propri delle interazioni deboli acquistano un valore delle masse diverso da zero, mentre rimane nullo il valore della massa del fotone. C’è da dire che il MS non predice la massa che deve avere il bosone di Higgs, ma può stimare un limite superiore di circa 186 GeV.
Nel prossimo post le cose si faranno tremendamente più complicate, ma spero di riuscire a darvi almeno l'idea che sta alla base della SUSY.