1 - Grande Unificazione

Nella storia che sto per raccontarvi ci sono dei nostri vecchi amici, i due bosoni di gauge W, il Z, il fotone e gli otto gluoni. Per una trattazione coerente e logica, occorre fare un passo indietro rispetto alla Grande Unificazione, e ricordare brevemente come si è arrivati alla costruzione della teoria elettrodebole.
Apparentemente, infatti, l'interazione elettromagnetica e quella debole non hanno niente in comune: la prima ha un raggio d'azione infinito, è mediata da particelle senza massa (i fotoni) che interagiscono con qualsiasi cosa che possieda carica elettrica e non producono nessun cambiamento, tantomeno violano qualche simmetria. Al contrario, l'interazione debole ha un raggio d'azione ancora più piccolo di quello dell'interazione forte, è mediata da particelle con una massa molto elevata e, durante le interazioni, violano la parità.
Tuttavia, nonostante tutte queste differenze, entrambe possono essere descritte con la teoria dei campi (QFT), la quale sostiene che la forza viene portata da delle particelle che vengono emesse e assorbite. In QFT, ve l'avevo già detto, l'intensità della forza tra due particelle è proporzionale all'ampiezza di probabilità di ciascun evento (in un processo semplice abbiamo tre ampiezze: quella per l'emissione del mediatore, quella del mediatore stesso e quella dell'altra particella che assorbe il mediatore). In questo tutte le teorie delle interazioni fondamentali si assomigliano. Quindi un semplice ragionamento potrebbe essere quello di dire: forse l'ampiezza per l'emissione di un W non è poi così diversa da quella per l'emissione di un fotone, solamente che, essendo il W molto massiccio, non fa molta strada e non viene scambiato così di frequente come il fotone. Anche se sembra superficiale, questo semplice ragionamento sta alla base dell'idea di unificazione elettrodebole.
Infatti, l'idea di base della QFT applicata alle interazioni fondamentali costituisce quelle che si chiamano teorie di Yang-Mills, nelle quali una particella si trasforma in un'altra con l'emissione o l'assorbimento di un bosone di gauge. E' evidente, quindi, che entrambe queste interazioni possono essere descritte con questo formalismo.
Ora, c'è ancora una cosa da fare: assegnare un gruppo di simmetria, dal momento che la scelta del gruppo determina il numero di bosoni di gauge che prendono parte all'interazione. La prima proposta è stata di adottare il gruppo SU(2), ma non funzionava perché l'interazione debole ha delle leggi di simmetria un po' più strane di quelle del suddetto gruppo. Allora, l'altra scelta più semplice era il gruppo SU(2) x U(1), che fondamentalmente è come SU(2) ma con qualche trasformazione di simmetria in più.
Tale gruppo presenta subito una difficoltà: ammette cioè un bosone di gauge aggiuntivo, chiamato Z. La teoria vincola l'esistenza di questo bosone e dice che se viene scambiato uno Z, la particella non cambia ma viene violata la parità ugualmente. Insomma, lo Z è come il fotone ma in più esso viola la parità.
A questo punto c'era ancora una questione da risolvere: essendo una teoria di gauge, si richiedeva che i bosoni di gauge fossero con massa nulla, così come nel caso del fotone. Ci voleva qualcosa che donasse massa ai bosoni di gauge e quel qualcosa non era altro che la rottura spontanea di simmetria: il nostro meccanismo di Higgs.
Weinberg e Salam, indipendentemente, hanno applicato tale meccanismo alle teorie elettromagnetica e debole e, nel modo che vi ho spiegato l'altro giorno, riuscirono a far diventare massivi i W e Z e allo stesso tempo mantenere invariata la situazione per il fotone.
In particolare il fotone, il W e lo Z sono fratelli, solo che gli ultimi due per energie basse sono massivi perché intercettati dal campo di Higgs, mentre il primo non risente di tale campo, essendo la carica del fotone elettrica e quella dell'Higgs debole.
Avendo notato questo, che le interazioni elettromagnetiche e quelle deboli sono in realtà la stessa cosa a energie elevate, ci si è chiesto, in un modo abbastanza naturale, se anche l'interazione forte potesse rientrare in questo schema. In effetti, siccome le costanti di accoppiamento non sono affatto costanti ma dipendono dall'energia, è plausibile cercare un punto d'unione tra le tre teorie. L'energia richiesta per questa unione è veramente altissima, si parla di circa un milione di miliardi di GeV (10^15 GeV).
Vogliamo dunque riunire il fotone, il W, lo Z e gli otto gluoni in una singola teoria di Yang-Mills. I primi tre sono descritti dal gruppo SU(2) x U(1), mentre gli altri sono guidati dal SU(3). Il primo gruppo trasforma due oggetti in altri due oggetti, mentre il secondo trasforma tre oggetti in altri tre. Basta fare 3 + 2 = 5. Eccolo: SU(5).

Il meccanismo di Higgs

In base alla teoria quantistica dei campi, che ripeto è alla base del MS, ogni tipo di campo genera la corrispondente particella: il campo elettronico è la sorgente degli elettroni e il campo di Higgs è la sorgente delle particelle di Higgs, dette anche bosoni di Higgs. Così come le altre particelle pesanti, tipo i quark bottom e top, non ci si aspetta di trovare una particella di Higgs nella materia ordinaria, così è necessario ricorrere ad esperimenti ad alta energia (come LHC).
Poiché non è ancora stata osservata tale particella, non si conosce l'esatta forma del campo ad essa associato, quindi sono stati proposti, negli anni, diversi modelli per il meccanismo di Higgs. Io nel seguito farò riferimento sempre alla spiegazione che ho trovato in quel libro, in quanto è l'unica che ho capito a fondo – assieme ad una trattazione semplificata (ma neanche tanto) fatta a lezione.
Supponiamo che esistano dei campi di Higgs in grado di produrre particelle e che possano avere un valore diverso da zero anche in assenza di particelle. Siamo cioè in una condizione di falso vuoto, per ricollegarmi con qualche post fa. Supponiamo che la carica trasportata da questi campi sia una carica debole: il fatto di avere un valore diverso da zero del campo significa che lo spazio è completamente riempito con questa carica debole. Tale carica è quindi la carica del vuoto.
I bosoni di gauge deboli interagiscono con questa carica debole, come fanno con tutte le altre cariche deboli. Quindi, la carica del vuoto impedisce ai bosoni di gauge deboli di trasmettere le forze a grandi distanze. Dovete immaginare che la carica debole sia spalmata in maniera molto sottile, cosicché a distanze corte i bosoni di gauge sono liberi di muoversi perché incontrano poca carica debole. Ma su grandi distanze, la carica debole che incontrano è sempre di più ed è come se fossero bloccati. Quanta carica incontrano dipende dalla densità di carica che dipende a sua volta dal valore del campo di Higgs. Quindi, per bosoni di gauge deboli di bassa energia è impossibile percorrere lunghe distanze.
L'ostacolo che si oppone al moto di questi bosoni deboli ci dice che essi si comportano come se avessero massa: la presenza della carica debole diversa da zero ostacola il viaggio dei bosoni di gauge deboli e fa sì che essi si comportino proprio come dovrebbero, in accordo con le osservazioni. In pratica è come se ci fosse una forza d'attrito viscoso tra il bosone e il pavimento dello spazio in cui si muove, tale per cui la particella viene frenata e si comporta come se avesse una massa diversa da zero. Ciononostante, per piccole distanze – leggi per alte energie – il cammino dei bosoni di gauge non viene interrotto perché la carica debole del campo di Higgs non influisce sui bosoni.
La simmetria viene cioè conservata per distanze brevi (alte energie) ma viene rotta spontaneamente per distanze elevate (basse energie), che è proprio quello che ci voleva per la risoluzione del nostro problema.
E' possibile stimare l'energia alla quale avviene la rottura di simmetria attraverso i bosoni di gauge stessi: se la loro energia è superiore ad un certo valore, la simmetria viene rispettata e non ci sono problemi; se invece la loro energia diminuisce, la simmetria si rompe e i bosoni acquistano massa. E' dunque evidente che l'energia a cui avviene tale transizione deve essere dello stesso ordine di grandezza della massa dei bosoni di gauge deboli, ovvero di circa 100 GeV (in particolare essa è 250 GeV).
Finora ho parlato solamente di bosoni di gauge deboli, ma questi ragionamenti valgono anche per i leptoni e i quarks. Anch'essi, alle basse energie, vengono “frenati” dal campo di Higgs e, oltre questa soglia, si comportano come se avessero massa nulla. Se lo desiderate, posso scrivere qualche post su questo argomento, e far vedere come le tre interazioni fondamentali si riuniscano in un contesto ben più grande: la Grande Unificazione. Vedremo perché il gruppo SU(5) è un valido candidato per questo insieme di teorie ma che pone dei problemi in più, come ad esempio la presenza di altri due bosoni sconosciuti.

Sulla rottura di simmetria, III pt

Riprendiamo dall'esempio della matita. Quando essa cade, sceglie una direzione specifica e cade a terra in una certa posizione, diciamo A. Rimettiamo in piedi la matita e adesso supponiamo che cada in un punto B. Possiamo ripetere all'infinito queste operazioni e trovare tutti i punti possibili in cui questa matita può cadere. Se consideriamo tutti questi punti – che saranno infiniti – possiamo ritornare ad affermare che il sistema presenta lo stesso grado di simmetria iniziale. Le singole posizioni no, ma se le prendiamo tutte assieme allora la simmetria originaria viene rispettata ancora.
In fisica si traduce questo concetto dicendo che le soluzioni finali non hanno lo stesso grado di simmetria di quelle iniziali, ma l'azione conserva la simmetria. Tra l'altro, nell'esempio della matita, abbiamo infinite soluzioni tutte con la stessa energia e si dice perciò che c'è degenerazione.
La rottura spontanea di simmetria è particolarmente importante nella fisica delle alte energie, in quanto esiste un meccanismo, che fa uso di questi concetti, che permette di spiegare l'origine delle masse delle particelle contenute nel Modello Standard (MS). Tale meccanismo è il famosissimo meccanismo di Higgs e in questo post vedremo di cosa si tratta. Ovviamente per conoscere a fondo tale meccanismo è necessario possedere una conoscenza approfondita delle teorie di gauge, quelle teorie che ammettono una simmetria di gauge. Vediamo se riesco a spiegarlo in un modo comprensibile. Per far ciò, prenderò spunto dal libro “Passaggi Curvi” di Lisa Randall, uscito qualche anno fa.
Prima di occuparci del meccanismo di Higgs, è bene soffermarsi sul perché bisogna richiedere una rottura di simmetria e anche sui problemi che una rottura di questo tipo può creare.
Come ho detto in altre occasioni, una delle tre forze fondamentali descritte dal MS fa uso di bosoni di gauge massivi ed è l'interazione debole. Le altre due interazioni – elettromagnetica e forte – usano bosoni con massa nulla, il fotone e i gluoni rispettivamente. Le masse dei bosoni di gauge deboli sono molto elevate (circa 100 GeV) e implicano un raggio di interazione molto corto (questo è dovuto alla teoria quantistica dei campi, che connette la massa ad energia (con la relatività) e energia alla coordinata radiale (con il principio di indeterminazione)).
Le teorie quantistiche dei campi come la QED funzionano solamente per bosoni di gauge aventi massa nulla: se così non fosse, è possibile dimostrare che tali bosoni interagirebbero più del 100% delle volte, che ovviamente è un'assurdità (significa che interagirebbero più spesso che sempre!). Questo lo possiamo capire con il seguente ragionamento: tutti sappiamo che le onde elettromagnetiche oscillano nelle due direzioni perpendicolari alla direzione del moto (polarizzazione trasversale) ed essendo nient'altro che fotoni, cioè particelle a massa nulla, viaggiano costantemente alla velocità della luce. I bosoni di gauge deboli, invece, hanno una massa diversa da zero, per cui possono, in linea di principio, anche starsene fermi. In questo caso c'è una polarizzazione aggiuntiva, ovvero quella longitudinale, cioè parallela alla direzione del moto. Non c'è nessun principio che vieti questa polarizzazione. Tale direzione aggiuntiva è il motivo per cui ci sarebbero veramente troppe interazioni.
Introdurre una simmetria interna per fare in modo che non avvengano queste troppe interazioni è possibile ed è quello che è stato fatto in QED per evitare che il fotone ammettesse anche la polarizzazione longitudinale. La simmetria diventa cioè un indicatore che ci mette in condizione di decidere quali siano le quantità degne di osservazione, e scartare tutte le altre. Viene quindi naturale introdurre una tale simmetria anche nel caso dell'interazione debole: cioè una simmetria in grado di eliminare la terza polarizzazione che produce interazioni infinite alle alte energie, confrontabili cioè con la massa dei bosoni di gauge. Tuttavia c'è un grosso problema: tale simmetria escluderebbe certo i risultati assurdi, ma eliminerebbe anche la massa dei bosoni di gauge. Serve quindi un meccanismo che risolva questo problema, ovvero che mantenga la massa ma tolga la polarizzazione aggiuntiva. Questo è il meccanismo di Higgs e sarà oggetto della prossima puntata.

Sulla rottura di simmetria, II pt

Come vedete ho cambiato layout, nel senso che ho ridimensionato la colonna per i post. Così dovrebbe essere più leggibile. Noterete inoltre che sto provando diversi font e adotterò quello che mi piace di più. Questo, ad esempio, mi piace.

Le rotture spontanee di simmetria che interessano a noi sono transizioni da uno stato di falso vuoto ad uno di vero vuoto. Vi starete chiedendo la differenza tra queste due entità. Quando in fisica quantistica si parla di vuoto, si intende lo stato con la più bassa energia, che necessariamente non contiene particelle. Ora, questo vale in meccanica quantistica non relativistica. Ma nella teoria dei campi lo stato di una particella è descritto da un campo, ovvero da un potenziale, che può assumere vari valori, dando origine all'energia della particella associata. Sotto questo punto di vista è possibile che tale potenziale presenti una forma tale per cui esistono più minimi, ovvero punti nei quali l'energia ha il valore più basso. Essendoci diversi minimi, dunque, è naturale aspettarsi che non tutti siano uguali. Infatti è così: soltanto uno è il minimo vero, quello in cui l'energia del campo è realmente la più bassa. In quel caso si parla di vero vuoto, mentre in presenza di minimi relativi si ha un falso vuoto. Quest'ultimo, in letteratura, viene anche chiamato stato metastabile del vero vuoto, nel senso che un certo sistema può starsene tranquillo nello stato di falso vuoto, ma può anche cadere nello stato di vero vuoto. Perciò il sistema non è stabile, ma neanche instabile: è metastabile.
Detto questo, proviamo a visualizzare meglio questo concetto, che è intimamente legato alla rottura spontanea di simmetria. Immaginate di trovarvi sulla cima di una collina; supponete che tale cima sia piuttosto ampia, per cui voi, che siete nati lì e vissuti lì, credete di stare in pianura. Di questo avete anche la conferma: guardando attorno a voi vedete delle colline più alte, assieme a delle montagne. Quindi, se non conoscete altro che quel posto, concludete di abitare in pianura. Un giorno, visto che non avete nulla da fare, decidete di spingervi fin dove muore la vista. Non siete mai stati così lontani da casa. Ad un tratto, verso la fine della giornata, notate che il prato volge lentamente in basso. Seguite il sentiero, sempre in discesa, attraverso un piccolo bosco finché, dopo qualche ora, raggiungete una radura nella quale c'è un piccolo laghetto. A questo punto, vi voltate e restate allibiti: la cima della collina da dove siete partiti è qualche centinaio di metri sopra di voi. Improvvisamente realizzate che fino ad allora non avevate capito nulla.
Ecco, questa piccola storiella è esattamente come il falso e il vero vuoto: la cima della collina dove avete vissuto fino a quel giorno è il falso vuoto, poiché vi sembra di stare nel punto più basso. La radura con il laghetto, invece, è il vero vuoto, poiché è quello il punto più basso. Non è da escludere che ci siano posti ancora più in basso.
Seguendo questa analogia possiamo dire che una particella può trovarsi in uno stato di falso vuoto e restarci quanto le pare, fintanto che le condizioni lo permettono. E qui entra in gioco la rottura spontanea di simmetria.
Per spiegarvi di cosa si tratta faccio un altro esempio. Prendete una matita, disegnate un cerchio perfetto su un foglio e supponete di poter mettere la matita al centro del cerchio perfettamente in equilibrio sulla sua punta. Ovviamente è una situazione che non è destinata a durare, perciò, dopo una frazione di secondo, la matita cadrà sul foglio, in una direzione non prevedibile. La simmetria originaria ora si è rotta spontaneamente. Chiaramente la fisica che descrive la caduta della matita è la stessa per tutte le direzioni, ma non lo è la simmetria globale finale.
Allo stesso modo, si possono verificare delle condizioni per le quali la nostra particella lasci lo stato di falso vuoto e scenda al valore di vero vuoto. Ma da qui in poi ce ne occuperemo nel prossimo post.

Sulla rottura di simmetria, I pt

E' da un po' che non scrivo un post bello denso di fisica. Questo perché mi stavo chiedendo cosa poter scrivere in modo che non risultasse pesante ma che al contempo fosse interessante. Ma l'altro giorno, grazie all'assegnazione dei Nobel per la fisica, ho avuto l'illuminazione: rottura di simmetria. Credo di non averne mai parlato in modo approfondito nelle pagine di questo blog. Ovviamente neanche adesso entrerò nei dettagli, anche perché sfuggono pure a me. Vi parlerò della rottura della simmetria alla mia maniera, cioè facendo uso di un vocabolario piuttosto semplice, arricchito anche da esempi pratici. Cominciamo.
Come in tutte le cose, specialmente in ambito scientifico, prima poterci occupare dell'argomento in questione, è bene ricordare o introdurre il concetto di simmetria in fisica (che poi non si discosta molto da quello comune). In qualche post passato vi ho detto che le leggi della natura e i fenomeni che esse descrivono godono di alcune simmetrie. Quindi la domanda è: cosa intendi con questo? Ad esempio: prendete la legge del moto rettilineo uniforme, ovvero la legge “velocità uguale spazio fratto tempo”. Se invertite il segno di questa relazione, le cose non cambiano: la velocità resta sempre il rapporto fra spazio e tempo. L'operazione dell'inversione del segno corrisponde, fisicamente, ad una inversione spaziale, ovvero è come guardare la stessa scena attraverso uno specchio. Altro esempio: la vostra faccia è la stessa se riflessa specularmente, solo che appare invertita da come lo è in realtà. Si parla pertanto di simmetria speculare. Altro esempio: prendete ora una sfera, del colore e dimensione che preferite. Essa gode, oltre della simmetria speculare, anche di quella rotazionale: di qualsiasi angolo ruotate la sfera, in qualsiasi direzione (si legga: rispetto ad ogni asse di rotazione), la sfera rimane sempre uguale.
Insomma, da questi due esempi abbiamo imparato che una certa simmetria in fisica è una proprietà di alcune leggi (fenomeni), la cui descrizione prima e dopo la trasformazione rimane la stessa. Tale trasformazione si dice trasformazione di simmetria, come è ovvio.
Vi ho parlato soltanto delle simmetrie speculari e rotazionali, ma in fisica, soprattutto nella fisica delle particelle e dei campi, ce ne sono molte altre, sicuramente più difficili da capire e da trattare in maniera semplice in un blog. Ma di questo ve ne avevo già parlato altre volte: ricorderete infatti tutti i discorsi sulle simmetrie di gauge, di coniugazione di carica, di parità, di colore e chi più ne ha più ne metta. In questa sede basta che sia chiaro il ruolo delle simmetrie in fisica.
Detto questo, passiamo alla fase successiva. Le simmetrie che abbiamo trattato possono non durare in eterno. Se con un coltello tagliamo la sfera a metà, essa non sarà più simmetrica per tutte le rotazioni di un qualsiasi angolo, ma solo rispetto ad alcune specifiche rotazioni attorno ad altrettanto specifici assi. Si dice che così facendo il coltello ha rotto la simmetria.
Questo per spiegarvi il concetto, cari amici non-fisici. Niente di complicato fin qui, dunque. Ebbene, in fisica ci sono molti modi per rompere una simmetria, soprattutto quando si ha a che fare con quantità astratte come campi di forza, particelle virtuali e altre entità alquanto fantasiose. Ad esempio, avrete sicuramente usato una calamita per prendere qualche pezzettino di ferro. Ora, il ferro – o sostanze simili che prendono il nome di sostanze ferromagnetiche – ha la proprietà che se preso così, da solo, i suoi atomi mostrano “orientazioni” casuali. Supponete di vedere un atomo come tutto il sistema di nucleo + elettroni attraversato da un'asticciola avente una punta che è rivolta in su e la direzione di questa asta e il verso della freccia sono diversi da atomo ad atomo. L'asticciola con la freccia si chiama dipolo magnetico. In una sostanza non magnetizzata tutti i dipoli magnetici (che sono tantissimi) sono orientati a caso. Prendendoli insieme possiamo fare una specie di media e dire che il pezzo di ferro presenta una simmetria rotazionale (rispetto ai dipoli magnetici). Infatti un dipolo diretto a 180° a destra e uno a 180° a sinistra si mediano a zero, e così pure per tutti gli altri. Quindi, magneticamente, se ruotate il pezzo di ferro non dovreste notare differenze.
Adesso avvicinategli una calamita: a seconda del polo di questa, il pezzo di ferro viene attratto o respinto dalla calamita. Ma questo lo sapete già, cari amici non-fisici. Quello che forse non sapete è che nel pezzo di ferro i dipoli magnetici si orientano tutti nella stessa direzione. Quindi la simmetria, in questo caso, non è più quella di prima. In particolare si dice che il grado di simmetria si è abbassato in quanto la simmetria originaria è stata rotta in un'altra che ha condizioni più stringenti. Questo fenomeno – l'abbassamento del grado di simmetria di un certo sistema – prende il nome di transizione di fase.
Ora, vi sono vari tipi di transizioni di fase che portano ad un abbassamento del grado di simmetria. Quindi esistono varie possibilità per rompere una simmetria, possibilità che si dividono in due categorie: rotture spontanee di simmetria o rotture indotte. Questo significa semplicemente che in una rottura spontanea di simmetria avviene una transizione di fase spontanea che produce un abbassamento del grado di simmetria. Nel caso di rottura indotta, significa che il fenomeno è prodotto da una qualche causa.
Prossimamente entrerò più nel dettaglio per quanto riguarda la rottura di simmetria nella fisica delle particelle elementari, rotture intimamente connesse con l'origine dell'Universo e che sono alla base delle proprietà atomiche della materia.

Antimateria, pt. II

Dal momento che mettere assieme materia ed antimateria comporta la produzione di fotoni ad alta energia (più alta è l'energia delle particelle coinvolte, più alta sarà l'energia dei fotoni prodotti), non è da sorprendere che questa asimmetria sia legata ad un'altra grande asimmetria: quella dei fotoni rispetto alla materia. La proporzione tra fotoni e materia è di circa 100000000:1, che vuol dire che per ogni barione (cioè particelle come protoni e neutroni) ci sono 100 milioni di fotoni. In qualche modo, dunque, queste due asimmetrie devono essere legate e la presenza, oggi, di un così alto numero di fotoni può essere ricondotta ad un epoca, nel passato remoto dell'Universo, in cui è avvenuto lo sbilancio tra materia ed antimateria.
Assumendo quindi che in passato entrambi i tipi di materia fossero presenti, la loro annichilazione ha generato il numero enorme di fotoni che oggi osserviamo. Se la teoria è giusta, quindi, un'altra prova dell'esistenza dell'antimateria può essere quella dei fotoni. Tuttavia resta ancora da stabilire perché e come è stato preferito un tipo di materia invece che un altro. Chiaramente, potrete obiettare, è indifferente chiamare la nostra materia ordinaria “materia” o “antimateria”. La convenzione è di chiamarla “materia”, ma non sappiamo quale delle due sia veramente la “materia” ed, anzi, non avrebbe nessun senso porsi questa domanda.
Ha però senso chiedersi da cosa si sia originato lo squilibrio. La causa è da ricercarsi nelle primissime fasi di vita dell'Universo, in quanto già dopo qualche minuto (diciamo i primi tre) è avvenuta la nucleosintesi primordiale, che ha formato i primi atomi. Quindi c'era già materia e niente antimateria. Il periodo di interesse è quello che va dal tempo di Planck ad un secondo dopo il Big Bang, un periodo di tempo estremamente breve ma durante il quale sono già avvenuti una miriade di fenomeni importanti quali le rotture di simmetria con la conseguente differenziazione delle interazioni fondamentali, l'inflazione cosmica, il confinamento dei quark negli adroni e un sacco di altre cose tra le quali la cosiddetta bariogenesi. Con questo termine si indica il processo che ha portato allo squilibrio osservato tra materia ed antimateria.
Solitamente, quando si parla del primo secondo di vita dell'Universo, si indentifica il periodo inflazionario come una sorta di “confine”: si distinguono cioè i fenomeni che sono avvenuti prima e quelli dopo l'inflazione. Ovviamente questo argomento richiederebbe non solo un post a se, ma anche qualche libro. Tuttavia per ora non mi preoccupo di dare una spiegazione dettagliata del fenomeno inflazionario, ma dico solo che si è trattato di un brevissimo lasso di tempo, più piccolo di un secondo, durante il quale l'Universo ha accelerato bruscamente la sua espansione e lo spazio è stato “stirato” talmente tanto che la sua forma di allora è la stessa che oggi osserviamo. Ebbene, ci si può chiedere se la bariogenesi sia avvenuta prima o dopo l'inflazione. Essa è avvenuta immediatamente dopo: se fosse avvenuta prima, infatti, a causa della rapida espansione, le asimmetrie create sarebbero state cancellate dall'inflazione.
Ma in cosa consiste questa bariogenesi? Essa è un fenomeno che per verificarsi ha bisogno di condizioni particolari, almeno tre. La prima deve essere ovviamente la violazione tra la quantità di materia e antimateria, cosa che si esprime con la cosiddetta violazione del numero barionico. Ma da sola questa condizione non basta. Devono essere contemporaneamente violate anche le simmetrie di parità e di coniugazione di carica, ovvero ci deve essere violazione di CP. Ma, ahimè, anche questa non basta. Perché l'asimmetria possa essere “stabile”, bisogna anche che avvenga uno squilibrio tra le popolazioni statistiche di particelle di materia e antiparticelle, cioè ad un non-equilibrio termico. (Qui la parola “termico” non è riferita direttamente alla temperatura conosciuta come tot gradi centigradi. Quando si parla di particelle microscopiche prese in un grande numero la temperatura diventa una proprietà statistica della popolazione.)
Dopo il primo secondo di vita, queste tre condizioni erano soddisfatte, a causa della densità, temperatura e pressione del plasma primordiale. In pratica, se proprio volete che arrivi alla conclusione, in seguito all'inflazione c'è stata la generazione di barioni, generazione non completamente bilanciata a causa delle tre suddette condizioni. Quello che è successo è che per ogni antibarione ci furono 1 più un centomilionesimo di barioni. Cioè, su 100 milioni di barioni e antibarioni c'era un barione in più. Così, quei 100 milioni di particelle e antiparticelle annichilirono dando origine ai 100 milioni di fotoni osservati, e il restante barione continuò la sua evoluzione legandosi ad altri barioni e formò atomi, molecole, gas, stelle, galassie e la vita.
Non è magnifico tutto questo?

Antimateria, pt. I

Per gli amici astro/fisici questi due post saranno inutili e può darsi che preferiscano impiegare meglio il loro tempo – farei così anche io. Quindi questi post sono per tutti gli altri.
Varie persone, negli anni, mi hanno chiesto cosa sia l'antimateria. Non lo so il motivo per cui alla gente interessi questa cosa; forse non interessa per niente; magari la parola “antimateria” è figa e si sente da un sacco di parti (dai libri ai film di fantascienza). O forse è per qualche altro motivo. Non so, però comunque stiano le cose, è sempre un piacere per me dialogare/spiegare certi argomenti.
Ho notato che nei saggi scientifici, sui siti internet non troppo osé e nei servizi di documentari televisivi, l'antimateria è quasi sempre definita come “il contrario” della materia. Tipo che l'antiparticella dell'elettrone ha la sua stessa massa ma carica positiva, eccetera. E così per le altre particelle, fino ad arrivare alla classica frase “se una particella si scontra con la sua antiparticella nello scontro si genera energia luminosa (luce, nda) e bla bla bla”. Ma in pochissimi casi ho sentito dire che cosa sia veramente l'antimateria. Da dove viene? Chi l'ha 'scoperta'? Perché dovrebbe esistere quando c'è già la materia?
La risposta a queste domande si deve ricercare nella storia della fisica, in particolare negli anni '30, quando si cercava di trattare relativisticamente la meccanica quantistica. Fino a quel momento, infatti, la descrizione del mondo microscopico era affidata alla funzione d'onda di Schrödinger ed alla sua famosa equazione. Essa descriveva particelle microscopiche, come gli elettroni, ma non rispettava le simmetrie imposte dalla relatività di Einstein.
In molti tentarono di far tornare i conti. I primi che ci provarono furono Oscar Klein e Walter Gordon, prendendo direttamente la relazione relativistica tra energia e quantità di moto e quantizzandola con le ben conosciute regole di quantizzazione. Si tratta di semplici passaggi algebrici: per il lettore che mastica un minimo di matematica ecco la pagina di Wikipedia dove c'è il calcolìno. Un occhio un po' più attento può vedere che l'equazione che trovarono Klein e Gordon, in sostituzione di quella di Schrödinger, non descrive più gli elettroni. Più in generale, essa non descrive più particelle cariche e dotate di spin. L'equazione di Klein-Gordon può essere usata solamente per particelle neutre e con spin nullo.
Chiaramente questa situazione era alquanto imbarazzante: mettere insieme la relatività e la meccanica quantistica sembrava comportare la rinuncia alla descrizione delle particelle reali. Ma, come in altri casi nella storia della fisica, la soluzione fu trovata da un uomo solo, che per questo e mille altri motivi ricevette, tra gli altri, il premio Nobel (sì, una volta lo davano per queste cose). Il suo nome è Paul Dirac e l'equazione che cavò fuori – che guarda caso porta il suo nome – descrive particelle cariche dotate di spin ed è pure valida in ambito relativistico. Niente di meglio, uno dice. Sì, vero. Però c'è un prezzo da pagare: l'equazione di Dirac ammette due tipi di soluzioni, due simmetrie per così dire. Le prime soluzioni sono quelle conosciute, cioè di energia positiva, come deve essere dal momento che esse rappresentano particelle reali che hanno energie positive. Le seconde, però, sono soluzioni ad energia negativa. Dirac si pose il problema di spiegare queste soluzioni ad energia negativa: esse non potevano venire tolte semplicemente con un colpo di spugna dalla teoria, perché senza di esse la teoria stessa sarebbe crollata. Esse dovevano esistere e dovevano avere un significato fisico.
Dirac risolse il problema di queste soluzioni ad energia negativa supponendo che esse descrivessero particelle simili a quelle conosciute ma con caratteristiche opposte. Egli aveva predetto l'esistenza dell'antimateria. Sperimentalmente, tale tipologia di materia fu scoperta solo qualche anno più tardi.
Adesso, con tutto quello che abbiamo detto, viene abbastanza naturale proseguire il discorso che facevo prima sulle proprietà delle antiparticelle. Tuttavia volevo focalizzare la vostra attenzione su un fatto a mio avviso interessante: perché nell'Universo esiste solo un tipo di materia? Quale è stato il criterio che ha stabilito che solo la materia doveva esistere e ha soppresso l'altra componente? L'asimmetria materia-antimateria è una delle cose più difficili da spiegare e tuttora non è ben chiaro a cosa sia dovuta. Essa tuttavia rappresenta un esempio mirabile di connessione tra la fisica delle particelle elementari e la cosmologia, e ve lo racconto la prossima volta.

Proprio un bel libro

Il libro che sto leggendo è meraviglioso, a tratti illuminante. Fa riflettere su argomenti sottili che raramente ci capitano sotto gli occhi. E poi dice cose che io sono anni che vado in giro a raccontare, ma tutti mi prendono per matto, sbagliando. Ma andiamo per ordine.

Il libro si intitola Fearful Symmetry, edito da Princeton Science Library (non so se ne esista una versione in italiano ma ne dubito), e come sottotitolo recita "The search for beauty in modern physics", insomma, argomenti con io ci vado a nozze. Il linguaggio dell'autore, Anthony Zee, è a volte chiarissimo, mentre in altri casi si fa fatica a stargli dietro. Come tutti i saggi scientifici che parlano di fisica teorica, credo che sia un po' difficile per un neofita, a digiuno da concetti astratti e del tutto privo delle conoscenze necessarie, riuscire a capire per filo e per segno tutte le pagine del libro. Certo, può sempre fidarsi di ciò che viene scritto, però, se me lo permettete, non è un grande affare questo. Comunque, nel mio caso, mi sta servendo molto: non tanto didatticamente (ahimè), quanto piuttosto come arricchimento culturale e possibilità di pensare e vedere le cose in modo diverso. Mi spiego meglio con un esempio.

Se andate a scavare tra le pagine di questo blog, ad un certo punto vi imbatterete nella violazione della parità delle interazioni deboli, ovvero il fatto che queste forze sono in grado di distinguere la destra dalla sinistra. La manifestazione nel mondo microscopico di questo fatto è l'esistenza di neutrini sinistrorsi mentre sono assenti quelli destrorsi. Cosa significa? Beh, che tali particelle possono ruotare solo in un senso e non nell'altro e tale proprietà è la chiralità. Ebbene, nel libro leggo che la chiralità è una proprietà caratteristica delle particelle con massa nulla. Perché? Ecco: supponiamo di avere un particella con una certa massa che si muove in una certa direzione, diciamo verso destra. Prendiamo un osservatore e mettiamolo su un aggeggio in modo tale che si muova anch'esso verso destra, solo con una velocità maggiore. Dunque, dal punto di vista dell'osservatore, la particella si muove verso sinistra (cioè si allontana sempre di più da lui, quindi è come se si muovesse in direzione opposta, cioè verso sinistra). Dal momento che la chiralità è definita come la direzione di rotazione della particella rispetto alla sua direzione del moto, l'osservatore e la particella saranno in disaccordo su quale chiralità attribuire alla particella, qualunque sia il suo verso di rotazione. Tuttavia, una particella priva di massa, come il neutrino, per definizione deve muoversi alla velocità della luce. Perciò, essendo la velocità della luce la massima permessa, nessun osservatore sarà in grado di superare la particella e muoversi a velocità superiore. Quindi, la chiralità della particella è una sua proprietà intrinseca.

Vedete? Ci avevate mai pensato prima? Beh, io sinceramente no, perché essenzialmente non mi ero mai posto il problema. Questo libro sulle simmetrie è proprio quello che ci voleva.

Poi, come dicevo poco sopra, questo libro dice anche alcune cose che io sostengo da tempo, come quella secondo cui una teoria fisica non viene creata ma solamente scoperta, in quanto sempre esistita. Le mele cadono oggi, come cadevano al tempo dei romani, come cadevano quando Newton formulò la sua Gravitazione Universale. L'ha formulata, appunto, non creata. Un'altra cosa che ho trovato compatibile con i miei pensieri è il fatto che al liceo - o comunque alle scuole superiori - la fisica e la matematica vengono insegnate come delle cose da sapere, da conoscere, senza preoccuparsi di dare giustificazioni del perché le cose stanno così; tanto meno si fa notare la bellezza della simmetria (e antisimmetria) delle leggi della natura. E' infatti provato che in alcuni casi, almeno in quelli che interessano a noi fisici, i concetti di bellezza e simmetria sono strettamente legati tra di loro: una legge è bella se è simmetrica e - questa è la figata - più simmetria c'è e più la legge è semplice. Ma di questo ne parlerò un'altra volta, assieme al fatto che la teoria della relatività non è affatto una teoria nuova, come spesso viene fatto erroneamente credere.

Principio di gauge in QCD

Volevo questa volta continuare il discorso che avevo lasciato a metà qualche tempo fa quando parlavo della simmetria SU(3) rispettata dalle interazioni forti. In effetti mi devo correggere, o perlomeno precisare un po' meglio come stanno le cose. Se vi ricordate, avevo scritto che dato che i colori sono 3, il gruppo di simmetria è l'SU(3). Giusto. Però ho anche detto che i sapori si presentano in 3 generazioni e ce ne sono 2 per ognuna. Vero anche questo. Però i sapori in totale sono 6 (up, down, charm, strange, bottom, top), per cui non è vero che anch'essi rispettano la SU(3). Beh, se presi in due gruppi di tre sapori ciascuno sì. Questo è quanto avevo fatto nel post “Creare Adroni”, cioè avevo assunto i barioni e i mesoni composti solamente dai quark u, d ed s. Questi 3 obbediscono alla SU(3), così come fanno gli altri 3, c, b e t. In totale, quindi, il gruppo di simmetria che governa le dinamiche dei sapori è l'SU(6). Inoltre questo viene “alterato” soltanto dalle interazioni deboli, le uniche in grado di modificare il sapore di un quark. Ma siccome ho detto che i sapori sono 6, due per ogni generazione, il gruppo di simmetria netto delle interazioni deboli è l'SU(2). Infatti le interazioni forti agiscono solo sul colore, ed è per questo che la cromodinamica quantistica (QCD) rispetta la SU(3): la rispetta perché sono i colori a rispettarla. Spero di essere stato chiaro, perché è pure una formalità però è abbastanza importante.
Detto questo, adesso devo riportare la vostra delicata memoria sulle trasformazioni di gauge. So che sono cose che ho scritto un sacco di tempo fa, però servono molto. In particolare serve il principio di gauge che è una sorta di principio di equivalenza (e anche qui dovreste ricordare il mio post sul principio di equivalenza generalizzato). Tale principio sostiene che è praticamente impossibile distinguere lo stato di una particella descritto come interazione di essa con un campo e lo stesso stato descritto come moto libero della particella con un cambiamento locale nella fase della sua funzione d'onda. So che a prima vista può sembrare arabo, soprattutto agli amici non-fisici, ma se ci pensate bene non lo è. Ora, non sto a spiegare questo fatto, che lo si trova ovunque in letteratura, piuttosto al suo legame con la QCD.
Il discorso qui si fa tortuoso ma spero comunque che si riesca a capire almeno l'idea di fondo. Partiamo con il caso più semplice delle interazioni tra fermioni e luce, descritte dalla QED. Le trasformazioni di gauge della QED obbediscono alla simmetria U(1), cioè l'equazione d'onda di una particella libera rimane la stessa se ruotata di una certa fase. Abbiamo quindi un solo parametro libero, ovvero la fase della funzione d'onda della particella che può variare in modo da mantenere invariata la forma dell'equazione d'onda (è quello che si diceva a proposito della covarianza dell'equazione di Schrödinger). Le trasformazioni U(1) sono abeliane, nel senso che non c'è differenza rispetto all'ordine in cui opero le rotazioni (ricordo infatti che un cambiamento di fase matematicamente si traduce nell'introduzione di un termine esponenziale nella funzione d'onda, dove l'esponente, a parte qualche fattore moltiplicativo, è la fase). L'invarianza, o meglio covarianza, della QED rispetto a queste trasformazioni è espressa dalla derivata covariante, che contiene implicitamente la simmetria U(1) dei campi di gauge dei fotoni.
Per le interazioni forti le cose si complicano, in quanto i colori sono tre. Mentre prima avevamo un solo parametro libero su cui poter operare, adesso ne abbiamo tre. La conseguenza è che le rotazioni in questo spazio tridimensionale, detto interno, non sono più indifferenti all'ordine in cui le si effettua, ma dipendono fortemente da questo. Si parla cioè di trasformazioni non-abeliane. Analogamente a quanto si fa in QED, anche in QCD si sfrutta il principio di gauge e si introduce una nuova derivata covariante, la quale, adesso, deve rispettare la simmetria giusta, non più la semplice U(1). Tale simmetria è la famosa SU(3) che entra nella derivata di gauge tramite i generatori del gruppo. Se si fanno i calcoli, la proprietà di non-commutatività di queste matrici (che non c'era nella QED perché il gruppo U(1) è commutativo) fa sì che compaia un termine aggiuntivo nella trasformazione dei campi di gauge che, ora, non è più uno solo – quello elettromagnetico, cioè il fotone – ma sono otto, corrispondenti cioè al numero dei generatori indipendenti del SU(3).
Questo termine aggiuntivo è composto da campi di gauge, i gluoni, e quindi descrive fisicamente le auto-interazioni dei gluoni, possibili sono in QCD e dovute alla non-commutatività del gruppo dei colori.
Tale auto interazione è la presunta causa della proprietà di libertà asintotica dei quark. Questa proprietà, caratteristica ancora una volta soltanto delle interazioni forti, stabilisce che la costante di accoppiamento forte è inversamente proporzionale al quadri-impulso scambiato tra due quark, cioè in pratica alla loro energia. Una costante che non è affatto costante, insomma. E poiché minore è la costante minore è l'accoppiamento, se ne deduce che l'accoppiamento-zero avviene asitoticamente per energie infinite, da qui il termine libertà asintotica. Ora, il motivo di questa asintoticità può essere ricercato nelle auto-interazioni continue dei gluoni che, di fatto, impediscono lo scambio di quark liberi. Tuttavia non è così semplice risolvere questo problema e un modo per farlo è costituito da una variante della QCD 'classica', detta “QCD su reticolo” (in inglese lattice QCD): in poche parole il campo viene quantizzato assumendo che lo spazio sia diviso in griglie, i reticoli, e su questo si costruiscono i campi di gauge dei gluoni. Dicono che questo modo di trattare le cose fornisce la spiegazione cercata per la libertà asintotica dei quark. Ovviamente questi non sono argomenti alla mia portata, quindi davvero non se so di più.

Un bel gruppo

E adesso, parliamo un po' di quella bella cosa che la gente chiama teoria dei gruppi, in particolare del mio caro amico SU(3). Sapete, in questi giorni ci sto dando davvero dentro con questi argomenti e devo ammettere che più la cosa si fa complicata, più mi piace. Allora le cose stanno così: forse ricorderete quando dicevo (lo dicevo?) che le leggi della fisica rispettano alcune simmetrie, più o meno evidenti, il che significa che non cambiano sotto particolari trasformazioni. Prendete un sistema di coordinate e ruotatelo di 180 gradi. Ora ruotate ancora di 180 e, come notate, ritornate al punto di partenza. Quindi due rotazioni fanno ancora una rotazione. Possiamo dire quindi che l'insieme delle rotazioni costituisce un gruppo di simmetria. In particolare la legge di trasformazione può essere un prodotto: per le rotazioni infatti sappiamo che coseni e seni possono essere espressi tramite la notazione esponenziale. Gli angoli compaiono all'esponente, per cui somma di angoli equivale a prodotto di potenze. La regola, che in gergo matematico si chiama rappresentazione, è quindi la moltiplicazione tra gli elementi del gruppo. Nel caso di rotazioni nel piano bidimensionale, queste moltiplicazioni sono commutative, ovvero ab = ba, da cui ab - ba = 0. Tutti i gruppi i cui elementi rispettano questa legge si dicono commutativi o, detta in modo più figo, Abeliani. Gruppi che non soddisfano la relazione di commutazione precedente si dicono non-commutativi (non-Abeliani). Ad esempio, le rotazioni nello spazio 3D non sono commutative, quindi sono non-Abeliane.

Detto questo esistono vari gruppi. Il più semplice è il gruppo U(1), ovvero il gruppo unitario i cui elementi sono numeri complessi di norma unitaria che obbediscono alla regola della moltiplicazione che ho dato prima. Non è un caso che il cerchio complesso è una rappresentazione geometrica del gruppo. Comunque, sto divagando.

Poi ci sono i gruppi cosiddetti "speciali", un esempio di questi è il SO(3) il gruppo delle rotazioni nello spazio 3D. La S sta per speciale mentre la O sta per ortogonale: le matrici di trasformazione sono ortogonali e sono anche speciali, visto che il loro determinante è +1.

Poi c'è il SU(2), che è anche questo speciale ma le cui matrici non sono ortogonali; il loro determinante però ha norma unitaria. E poi c'è il SU(3), una specie di generalizzazione del SU(2). 

La cosa interessante è che esiste un teorema, peraltro non molto difficile da dimostrare, che dice: ogni matrice ortogonale U di trasformazioni infinitesime è esprimibile come l'esponenziale di una matrice antisimmetrica L. Facendo tendere all'infinito queste trasformazioni infinitesime, ottenendo così una trasformazione finita, si può far vedere che queste matrici antisimmetriche che compaiono all'esponente, sono i generatori del gruppo. Questi generatori, nel caso del gruppo SU(2) sono tre matrici quadrate 3 x 3 aventi traccia nulla e determinante unitario. Esse non commutano e le loro relazioni di commutazione definiscono la struttura del gruppo, tramite opportune costanti di struttura.

Per il gruppo SU(3), la richiesta che la matrice U sia unitaria deriva dal fatto che la L è hermitiana. Questo impone che gli elementi di U siano 9 parametri reali. La traccia nulla di L impone un altro vincolo sul numero dei parametri liberi, che in totale fanno 8. E non è un caso che questi 8 generatori sono collegati intimamente agli 8 gluoni ed è per questo che il gruppo SU(3) descrive le interazioni forti tra i quark, interazioni descritte come scambio di otto gluoni "carichi". E non è un caso nemmeno il fatto che la dimensione delle matrici è 3, così come le 3 generazioni di quark e i 3 colori. 

Ma parlerò di questo in un altro momento. Che ne dite? Vi può interessare?

Ah, non c'entra niente (o non direttamente), ma dopotutto sì: la fissa per la fisica teorica e la debolezza dell'euro nei confronti del dollaro, mi hanno spinto all'acquisto di due libri: uno è la tesi di dottorato di Richard P. Feynman sul nuovo approccio dei path integral alla QED. L'altro non lo conosco ma, stando al titolo, non dovrebbe essere male. Parla di simmetrie, per cui deve essere bello per forza.