Un bel gruppo

E adesso, parliamo un po' di quella bella cosa che la gente chiama teoria dei gruppi, in particolare del mio caro amico SU(3). Sapete, in questi giorni ci sto dando davvero dentro con questi argomenti e devo ammettere che più la cosa si fa complicata, più mi piace. Allora le cose stanno così: forse ricorderete quando dicevo (lo dicevo?) che le leggi della fisica rispettano alcune simmetrie, più o meno evidenti, il che significa che non cambiano sotto particolari trasformazioni. Prendete un sistema di coordinate e ruotatelo di 180 gradi. Ora ruotate ancora di 180 e, come notate, ritornate al punto di partenza. Quindi due rotazioni fanno ancora una rotazione. Possiamo dire quindi che l'insieme delle rotazioni costituisce un gruppo di simmetria. In particolare la legge di trasformazione può essere un prodotto: per le rotazioni infatti sappiamo che coseni e seni possono essere espressi tramite la notazione esponenziale. Gli angoli compaiono all'esponente, per cui somma di angoli equivale a prodotto di potenze. La regola, che in gergo matematico si chiama rappresentazione, è quindi la moltiplicazione tra gli elementi del gruppo. Nel caso di rotazioni nel piano bidimensionale, queste moltiplicazioni sono commutative, ovvero ab = ba, da cui ab - ba = 0. Tutti i gruppi i cui elementi rispettano questa legge si dicono commutativi o, detta in modo più figo, Abeliani. Gruppi che non soddisfano la relazione di commutazione precedente si dicono non-commutativi (non-Abeliani). Ad esempio, le rotazioni nello spazio 3D non sono commutative, quindi sono non-Abeliane.

Detto questo esistono vari gruppi. Il più semplice è il gruppo U(1), ovvero il gruppo unitario i cui elementi sono numeri complessi di norma unitaria che obbediscono alla regola della moltiplicazione che ho dato prima. Non è un caso che il cerchio complesso è una rappresentazione geometrica del gruppo. Comunque, sto divagando.

Poi ci sono i gruppi cosiddetti "speciali", un esempio di questi è il SO(3) il gruppo delle rotazioni nello spazio 3D. La S sta per speciale mentre la O sta per ortogonale: le matrici di trasformazione sono ortogonali e sono anche speciali, visto che il loro determinante è +1.

Poi c'è il SU(2), che è anche questo speciale ma le cui matrici non sono ortogonali; il loro determinante però ha norma unitaria. E poi c'è il SU(3), una specie di generalizzazione del SU(2). 

La cosa interessante è che esiste un teorema, peraltro non molto difficile da dimostrare, che dice: ogni matrice ortogonale U di trasformazioni infinitesime è esprimibile come l'esponenziale di una matrice antisimmetrica L. Facendo tendere all'infinito queste trasformazioni infinitesime, ottenendo così una trasformazione finita, si può far vedere che queste matrici antisimmetriche che compaiono all'esponente, sono i generatori del gruppo. Questi generatori, nel caso del gruppo SU(2) sono tre matrici quadrate 3 x 3 aventi traccia nulla e determinante unitario. Esse non commutano e le loro relazioni di commutazione definiscono la struttura del gruppo, tramite opportune costanti di struttura.

Per il gruppo SU(3), la richiesta che la matrice U sia unitaria deriva dal fatto che la L è hermitiana. Questo impone che gli elementi di U siano 9 parametri reali. La traccia nulla di L impone un altro vincolo sul numero dei parametri liberi, che in totale fanno 8. E non è un caso che questi 8 generatori sono collegati intimamente agli 8 gluoni ed è per questo che il gruppo SU(3) descrive le interazioni forti tra i quark, interazioni descritte come scambio di otto gluoni "carichi". E non è un caso nemmeno il fatto che la dimensione delle matrici è 3, così come le 3 generazioni di quark e i 3 colori. 

Ma parlerò di questo in un altro momento. Che ne dite? Vi può interessare?

Ah, non c'entra niente (o non direttamente), ma dopotutto sì: la fissa per la fisica teorica e la debolezza dell'euro nei confronti del dollaro, mi hanno spinto all'acquisto di due libri: uno è la tesi di dottorato di Richard P. Feynman sul nuovo approccio dei path integral alla QED. L'altro non lo conosco ma, stando al titolo, non dovrebbe essere male. Parla di simmetrie, per cui deve essere bello per forza.