Creare adroni

Mi perdonerete per la lunghezza di questo post, ma in questi giorni ho "scoperto" una cosa molto interessante e ve la voglio raccontare. Essa riguarda gli adroni. Ma andiamo per ordine.

Tra tutte le particelle elementari, gli adroni sono sicuramente le più complicate. Esse, infatti, non sono neppure elementari, in quanto composte da quark. Gli adroni sono di due tipi: mesoni, composti da due quark e barioni, costituiti da tre quark. Le complicazioni nascono per tre principali motivi: i quark si presentano in tre colori diversi e anche tre generazioni di sapori. Per convenienza, assumiamo che le tre generazioni di sapori coincidano con i sapori u, d e s, in quanto gli altri tre (c, b, t) sono troppo pesanti per formare particelle stabili. Quindi, uno si aspetta che, sotto determinate regole, si possano creare gli adroni a partire dai quark fondamentali (u, d, s); chiaramente, bisogna tener conto di almeno due fattori: lo spin e il colore.
Per quanto riguarda il colore, non ci sono particolari problemi poiché una volta create le particelle (barioni e mesoni che siano), basta imporre che esse abbiano colore neutro. Tutte le combinazioni che rispettano questa regola danno origine a particelle il cui comportamento rispetto alle interazioni fondamentali non cambia. Ad esempio, il pione negativo è composto da un quark d e un anti-u. Se il quark d è rosso, allora l'anti-u deve essere anti-rosso. Così, può accadere che il d sia blu e quindi l'anti-u è anti-blu, e così via. Questi pioni si comportano tutti allo stesso modo.
Per lo spin, invece, le cose si complicano, perché a seconda della direzione degli spin dei singoli quark si hanno particelle diverse, avendo diversi spin e quindi diverso comportamento durante il moto (quella che viene chiamata elicità, proiezione dello spin lungo la direzione del moto). Ad esempio, esistono due tipi di mesoni a seconda degli spin: vettori o pseudoscalari. Anche i barioni sono di due tipi: quelli a spin-1/2 (come protone e neutrone) e a spin-3/2 (come le risonanze del protone).
Come formare adroni a partire dagli stati di base ce lo dice il gruppo SU(3). Più o meno io avevo capito, in formule, come farlo però è sempre stato un tabù capire perché c'era un otteto di mesoni e un singoletto. Ma soprattutto era un tabù la vera e propria creazione di queste particelle. Stessa cosa dicasi per i barioni. Qualche giorno fa, però, giocherellando con i triangoli, ho trovato un modo molto semplice ed intuitivo basato su semplici regole geometriche per creare mesoni e barioni. Cioè, non è che l'ho scoperto io: io ho trovato la regola che vado a spiegare, ma penso che sia una regola generale, implicitamente contenuta in tutti i libri di testo ed articoli. Infatti si trovano spesso disegni di otteti e decupletti di barioni ma da nessuna parte è spiegato operativamente come si faccia ad ottenerli.
MESONI
Essendo composti da 2 quark, i mesoni si ricavano dal prodotto diretto delle rappresentazioni 3 x anti-3: perché ogni quark ha 3 sapori possibili. Quindi in totale, ci dovrebbero essere 9 mesoni. Ma come costruirli? Ebbene, quello che si fa è di considerare i tre quark u, d ed s come vertici di un triangolo sul piano T - S, dove T è la terza componente dell'isospin e S è la stranezza (per definizione il quark s ha S = -1). Similmente, esiste un triangolo con gli antiquark e per costruirlo basta invertire i segni dei numeri quantici del primo triangolo. Quindi, la regola 3 x 3, mi dice che devo moltiplicare tra loro questi due triangoli. Questo si fa tenendo fisso il triangolo dei quark e su ogni vertice di questo si costruiscono tre anti-triangoli. Il centro di questi triangoli coincide con il vertice del triangolo base. Si veda la figura(*) (scannerizzata, perché farla al computer è particolarmente laborioso e si perde un sacco di tempo). Tuttavia si nota come al centro ci siano tre particelle: esse non possono essere semplicemente formate dalle coppie u/anti-u, d/anti-d, s/anti-s, perché verrebbero meno alle richieste di antisimmetria della funzione d'onda. Devono perciò essere tre combinazioni lineari. Tuttavia solo due di queste sono indipendenti, e l'altra forma un singoletto a se. E così siamo rimasti con 8 mesoni + 1 spaiato. Ovvero abbiamo effettuato la riduzione 3 x 3 = 8 + 1. Da notare che accade la stessa cosa con i colori.

BARIONI
Qui le cose si complicano, perché i barioni sono composti da 3 quark, quindi abbiamo 3 x 3 x 3 combinazioni possibili. Tuttavia possiamo scrivere 3 x (6 + 3) = (3 x 6) + (3 x anti-3) = (3 x 6) + 8 + 1. Si tratta dunque di scomporre il prodotto diretto 3 x 6, dal momento che, grazie alla trattazione precedente, sappiamo costruire gli 8 + 1. Prima di farlo, però, bisogna tener presente questa cosa: quello che prima era l'anti-triangolo, adesso si è trasformato in un altro triangolo i cui vertici sono composti da due quark ciascuno (anzi, combinazioni lineari di quark). Quindi, il prodotto 3 x 3, dà origine a nove stati composti da tre quark ciascuno: nello specifico, l'otteto costituisce i barioni "normali", cio come il protone e neutrone, e il singoletto è un'altra particella. Per quanto riguarda il 3 x 6, bisogna capire come è fatta la rappresentazione 6. Essa è 6 = 3 + anti-3, cioè adesso devo aggiungere un triangolo ad ogni lato dell'anti-triangolo. Quindi, posso procedere con la moltiplicazione 3 x 6, ovvero tengo fisso il triangolo-6 e, su ogni "vertice" costruisco un triangolo il cui centro coincide con il vertice stesso. Quando adesso dico "vertice" intendo anche le varie intersezioni del triangolo-6. Ottengo a questo punto un triangolo a 10 vertici, dei quali però otto sono "doppi", cioè ho proprio 10 + 8. I dieci stati coincidono con le risonanze Delta(1232) e suoi derivati, mentre l'otteto identifica particelle che sono antisimmetriche rispetto allo scambio dei primi due quark (e non ho capito il loro corrispettivo).

(*) Perdonate i molti errori commessi e la pessima grafica, ma ho fatto tutto ciò in velocità alle undici e mezza di sera, dopo una giornata passata a far contacci. Spero comunque che sia tutto chiaro lo stesso. Un'altra cosa: nello schema dei barioni non ho scritto le singole composizioni di tutte le particelle; avendo capito il metodo basta un po' di tempo (e di voglia) per trovarle tutte.