Considerazioni geometriche sui sistemi di riferimento

Vi risparmio tutta la storia sui postulati della relatività, dei sistemi di riferimento e delle trasformazioni di Lorentz. Farò delle considerazioni geometriche sui sistemi di riferimento in moto relativo e spero di fornirvi un punto di vista diverso e illuminante come è stato nel mio caso. La cosa tuttavia che mi sembra interessante è che è possibile costruire le suddette trasformazioni tra due sistemi di riferimento semplicemente analizzando le relazioni che intercorrono tra gli assi dei due diagrammi spazio-temporali. Ad esempio, se in ordinata ci sono le coordinate e in ascissa i tempi, allora mettendoci in unità naturali, è banale osservare che la velocità della luce è rappresentata da una retta a 45° rispetto ai due assi. Essa, inoltre, è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ad esempio, se abbiamo un sistema S(x,t) a riposo e uno S'(x',t') in movimento con una certa velocità in direzione x, allora ci si può chiedere come sia tale sistema visto da S. Ebbene, è possibile costruire tale diagramma in un modo abbastanza semplice: per quanto riguarda l'asse dei tempi t', sappiamo che per t' = 0 sarà t' = x' = t = x = 0. Quindi, possiamo rappresentare l'asse t' come inclinato di un certo angolo rispetto a t, passante per l'origine. Chiaramente anche x' dovrà passare per l'origine e per trovare la sua inclinazione supponiamo che nel sistema S' avvenga questo fatto: supponiamo che per t' = -a e x' = 0 venga emesso un raggio di luce che raggiungerà un certo punto x' viaggiando a 45°. In x' il raggio viene riflesso e torna a x' = 0 a t' = a. Quindi, l'asse x' è il luogo dei punti di S' dove vengono riflessi i raggi. Quindi, per trovare l'asse x' rispetto a x, basta far partire una retta da un certo t' = -a e fare in modo che il raggio venga riflesso e torni in t' = a. Lo so, a parole sembra complicato ma vi assicuro che non lo è. Comunque, il punto è che, grazie ai diagrammi spazio-temporali ed ai postulati fondamentali, è possibile risalire ai sistemi di riferimento relativi e, dunque, determinare le trasformazioni tra i due sistemi.
Volevo tuttavia farvi notare che tutto questo discorso si basa sul fatto che la velocità della luce è la stessa nei due sistemi di riferimento. Questo porta ad un'altra conclusione: dal momento che la velocità della luce è 1 ed essa è la stessa per i due sistemi S ed S', si può dimostrare che gli intervalli nei due sistemi tra qualsiasi due eventi sono uguali.
Un altro fatto interessante sono le cosiddette “iperbole invarianti”. Nulla infatti ci vieta di costruire sul piano (t,x) delle iperboli dei due tipi, tipo-spazio (termine noto positivo) e tipo-tempo (termine noto negativo). Ebbene, è facile verificare che tali iperboli sono asintotiche agli assi del cono-luce (ovvero quel cono all'interno del quale ci sono tutti gli eventi di tipo-tempo e al cui esterno quelli di tipo-spazio). Inoltre, un iperbole di tipo-tempo ha la strana proprietà che in x = 0 la retta tangente all'iperbole costituisce una linea di simultaneità (cioè a t = cost) per il sistema S. Ci si può chiedere cosa avvenga nel S'. Ebbene, il punto che inizialmente stava sull'asse t a x = 0, adesso, tramite le trasformazioni di Lorentz viene spostato a destra, mantenendosi sull'iperbole, fino ad incontrare l'asse t'. Allora adesso, la retta tangente al punto sull'asse t' (che quindi avrà x' = 0) costituisce una linea di simultaneità per il sistema S' ed ha pendenza 1/v, essendo v la velocità di S' rispetto ad S.
Beh, direi che per adesso è tutto. Spero sia stato tutto, o quasi, chiaro. E' ovvio che non disponendo di grafici precisi le cose potrebbero sembrare nebulose: questo è un classico esempio di quando i grafici sono indispensabili. Tuttavia, se proprio volete avere un'idea di quanto ho detto, andate a vedervelo su questo libro, molto ben fatto e che ho usato per scrivere questo post. Ve lo consiglio proprio: è piccolo e lo potete portare sempre con voi (metti caso che sei lì tranquillo in bus o in treno e una tipa ti chiede disperatamente aiuto sulla derivata covariante: fai la tua sporca figura). C'è tutto quello che occorre da sapere sulla relatività generale, senza contare il fatto che non costa neanche tanto. Chiaramente si tratta di un libro introduttivo, quindi non aspettatevi dimostrazioni da panico: la matematica c'è, eccome, ma non è quella matematica rigorosa che si trova da molte parti.

Per approfondire: diagrammi di Minkowski.