Simpatie

Vi avevo anticipato che avrei detto perché la LQG mi sta simpatica. Se volete scoprirlo, cari lettori ed amici, leggete pure questo post. Altrimenti aspettate il prossimo che, con tutto il tempo che ho (?), non so nemmeno se ci sarà. Comunque eccomi qui.
Per dirvi quello che ho da dire, devo fare qualche passo indietro e ricordarvi brevemente cosa dicevamo qualche mese fa – a dire il vero quando ho aperto questo blog la questione era già attiva su quello vecchio – sul Principio di Equivalenza. In breve si diceva che non esistono sistemi inerziali. E non esistono perché non avrebbe senso che esistessero. Chiaramente non mi dilungherò per spiegarvi questa considerazione perché richiederebbe vari post e anche perché c'è già scritta qui e altrove (i link li trovate in basso a destra sotto la voce “De phisica”).
Ora, il punto fondamentale della LQG, è questo: lo spaziotempo non esiste ed esiste solo il campo gravitazionale. In poche parole, il campo gravitazionale è lo spaziotempo. A prima vista questa potrebbe sembrare una affermazione azzardata ed abbastanza sbagliata: diavolo, se uno pensa classicamente lo spazio c'è eccome, anche senza gravità. Ma questo è quello che succede classicamente, ovvero quando ci mettiamo in certi sistemi di riferimento privilegiati che sono quelli inerziali. Capite bene che l'affermazione mia e di Ema (i sistemi di riferimento inerziali non esistono) e quella di Rovelli (lo spaziotempo non esiste) hanno lo stesso significato; per la fisica classica lo spaziotempo è, come lo definisce Rovelli, una “tavolozza immutabile” su cui avvengono i fenomeni naturali. Questo è quello che pensava Newton e che ci hanno insegnato al liceo. Tutti i fenomeni fisici che analizziamo (dalla caduta dei gravi agli esperimenti negli acceleratori di particelle, passando per le osservazioni fatte da HST) avvengono su questa tavola immutabile. Einstein però va oltre e dice che le proprietà dello spaziotempo non sono sempre le stesse in ogni punto, ma cambiano a seconda del campo gravitazionale presente. Vi avevo già parlato del concetto di campo da qualche parte (qui, nello specifico) per cui non mi dilungherò su questo. Ma Rovelli dice anche un'altra cosa e lo fa con questo brillante esempio. Prendete un isoletta spersa nell'oceano e su questa isoletta immaginate che vivano degli animali. In questo caso possiamo identificare l'isola con la tavolozza di Newton e gli animali sono i campi gravitazionali prodotti dalle masse che popolano quello spazio. Supponete adesso di immergervi in acqua e di accorgervi che l'isola su cui vivono questi animali è essa stessa un gigantesco cetaceo. Una balena immensa sul dorso della quale vivono altri animali. Adesso quindi avete dei campi gravitazionali che vivono su di un altro campo: in poche parole abbiamo “campi su campi”. Non esiste più lo spaziotempo fisso ma esiste solo il campo gravitazionale su cui vivono altri campi. Questo in effetti è il punto di partenza di altre teorie che mirano all'unificazione QM/GR, però è un bell'esempio di cosa vogliamo dire. In pratica quantizzare lo spaziotempo significa quantizzare il campo gravitazionale. Chiaramente questo porta ad una serie di problemi quali le dimensioni minime di questo spazio e la definizione di “quanto di spazio”. E' anche per questo che non ne so di più, perché, come anche sottolineato da Rovelli alla conferenza, sono argomenti terribilmente tecnici e complicati anche per i teorici più incalliti.
Se adesso, dopo questa riflessione, vi andate a leggere cosa scrivevamo un tempo io ed Ema sul campo gravitazionale e sul Principio di Equivalenza, troverete che queste idee combaciano perfettamente con le nostre. Diavolo, eravamo sulla strada giusta!
D'altra parte, quantizzare lo spazio non è per niente ovvio e forse risulta più facile quantizzare le cose che ci stanno dentro, come fa la teoria delle stringhe. Ma neppure questo deve essere una passeggiata; e lo dimostrano tutti gli studi che vengono fatti in ogni parte del mondo e nessuno ancora è riuscito a cavarci qualcosa di buono da entrambe le teorie. Sembra che la natura ce la metta tutta a deviare il nostro sguardo verso spiegazioni sempre più difficili e ed esotiche piuttosto che indirizzarci verso la verità.
A volte credo davvero che facciamo le cose tanto complicate per niente. Non dico che la natura sia facile e comprensibile completamente con un perfetto modello analitico; dico soltanto che mi pare strano che per descriverla ci sia il bisogno di ricorrere a teorie esotiche e surreali (e complicatissime). Può darsi che la semplicità della natura vada al di là delle nostre possibilità logiche e, se così fosse, gli sforzi di tutti noi scienziati sarebbero irrimediabilmente vani. Ma con questo ricadiamo su questioni metafisiche/filosofiche che non intendo affrontare. Per cui credo che sia meglio continuare a studiare quelle poche cose che sappiamo essere vere. Perché, dopo una certa soglia, la fisica diventa filosofia e la filosofia religione. E poi? Dove andremo a parare?

Una conferenza

Ieri l'altro c'è stata una conferenza al Dipartimento di Fisica di Padova sullo stato dell'arte dello studio della gravitazione e dei suoi sviluppi recenti e futuri. In particolare si voleva trovare la via per rispondere alla domanda: la Relatività Generale (GR) è davvero l'ultima teoria in grado di descrivere perfettamente l'Universo su larga e piccola scala? Ovviamente, come anche vi ho detto io in un paio di occasioni, la risposta a questa domanda è per forza di cose negativa. Tutti infatti sappiamo che per avere una corretta teoria che descriva tutte le scale (da quella di Planck alle dimensioni dei superammassi di galassie) la GR non basta e, per le scale più piccole, occorre una teoria di gravità quantistica che combini assieme gli effetti della GR e della Meccanica Quantistica (QM).
La conferenza di ieri verteva proprio su questo argomento, la gravitazione quantistica; proprio per questo sono stati invitati a parlare due fisici teorici – che io considero tra i migliori del mondo – che propongono due versioni diverse atte a trattare la gravità quantistica. Da un lato c'era Carlo Rovelli, tra i fondatori della loop quantum gravity (LQG) (e a cui io sono abbastanza affezionato per alcune sue idee di cui dopo parlerò), mentre dall'altro Gabriele Veneziano, tra i fondatori della teoria delle stringhe, indiscussa protagonista degli ultimi 20 anni e candidata ad essere la vera Teoria del Tutto (TOE).
Dopo i classici saluti da parte delle autorità accademiche (tra cui il direttore della sezione di Padova dell’INFN, del presidente della SIGRAV e di altri personaggi), ha preso la parola Carlo Rovelli per illustrare nelle basi la LQG. Nella prima parte della sua lezione, Rovelli ha parlato dei due diversi modi di trattare la gravità quantistica: da un lato è possibile mantenere il background, ovvero tenere buona la metrica dello spaziotempo e quantizzare gli oggetti al suo interno, oppure quantizzare direttamente lo spaziotempo. La LQG si basa proprio su quest’ultima ipotesi e per questo viene chiamata background-independent, al contrario della teoria delle stringhe, che è invece del primo tipo, e viene chiamata background-dependent.
Inizialmente esistevano due versioni della gravità quantistica (non-stringhista, se volete), due approcci diversi: un primo si basava sull’assunzione che gli stati quantistici fossero funzioni della metrica e che siano anche invarianti di gauge (ricordate quella storia sulle simmetrie di gauge?). Questo, per una serie di motivi che non ho ben capito, non funziona. Il secondo metodo costituisce un approccio à la Feynman, ovvero mediante il calcolo delle ampiezze di probabilità come prodotto di esse. Ahimè, anche questo no funziona. Un altro approccio, risalente ancora agli inizi del secolo scorso, assumeva una trattazione à la Faraday, ovvero trattava i campi di gauge (ovvero costruiti secondo le invarianze di gauge) come linee di flusso, esattamente quello che valeva per il campo elettrico. Solamente che adesso queste linee erano curve chiuse, ovvero dei loop. Tuttavia anche questo approccio, se applicato alla GR, non portava a particolari risultati. Allora si è pensato di “immergere” questi loop in un reticolo, una griglia (che in inglese si dice lattice). Tuttavia nasceva subito un problema perché se disgraziatamente qualcuno di questi loop veniva distorto, allora non si poteva più integrare (ovvero calcolare le ampiezze) in quanto lo spazio tra i loop diventava irrimediabilmente stretto e l’integrale non ha senso.
Però le cose cambiano se si applicano questi ragionamenti alla GR. Inoltre la cosa interessante è che le intersezioni tra i loop costituiscono proprio i quanti fondamentali di volume.
Poi ha parlato anche di connessioni di spin (spin networks), schiume di spin (spin foams) e altre entità alquanto esotiche che non ho minimamente compreso. Comunque è interessante un’applicazione alla cosmologia, in particolare viene risolto in un modo abbastanza divertente il problema della singolarità iniziale. Ecco come: considerate il classico grafico del parametro di espansione a(t) in funzione proprio del tempo. Nella cosmologia standard non si capisce bene cosa succeda per t tendente a zero, anche se la maniera più ovvia è quella di supporre che anche il parametro a vada a zero. Però non si sa cosa succede. Con la LQG, invece, si sa eccome cosa succede ad a ed è questo: per t = 0, l'Universo ha la sua dimensione minima, data dal quanto di volume rappresentato dal loop. Inoltre, è possibile andare anche al di là dell'asse delle ordinate, vedendo che per tempi negativi il parametro di espansione riprende a crescere, come succede a destra del grafico. Ovviamente ignoro i dettagli matematico-fisici di questa cosa. Però l'ho trovata assai interessante.
L'ultima parte della lezione di Rovelli si è conclusa con un sommario obbligato dei risultati ottenuti in questo campo e ha presentato una serie di pro e contro della LQG, confrontandola con i pro e i contro della teoria delle stringhe. Chiaramente, dal suo punto di vista, Rovelli ha inserito nell'elenco un solo pro per la teoria delle stringhe e il resto erano tutti contro.

L'inverso invece ha fatto Gabriele Veneziano che è partito subito con il Modello Standard (SM) delle particelle elementari, facendo sapere a tutti che esso è descritto da un gruppo non-abeliano SU(3)xSU(2)xU(1). Che vi avevo detto io? Eh? Poi ha passato in rassegna brevemente le quattro interazioni fondamentali e ha spiegato, a grandi linee, perché non possiamo includere la gravitazione nel “classico” SM. Ha detto esattamente quello che scrivevo io qui qualche tempo fa, ovvero ha parlato di teorie rinormalizzabili e non: poiché la teoria gravitazionale è non-rinormalizzabile, essa conduce a quantità infinite nel calcolo perturbativo delle correzioni alle masse delle particelle elementari. Quindi, spinto da queste motivazioni piuttosto forti, ha cominciato ad illustrare brevemente le caratteristiche della teoria delle stringhe, facendo vedere come essa può risolvere molti tra i problemi dello SM. Uno su tutti il fatto che essa unifica tutte e quattro le forze fondamentali pur mantenendo finito il parametro di cut-off (ve ne avevo parlato sommariamente quando discutevamo della SUSY), rimuovendo quindi la divergenza ultravioletta. Inoltre, essa non contiene parametri liberi come invece contiene lo SM: esso infatti, nella sua formulazione moderna, non fornisce alcuna spiegazione per il preciso valore delle masse dei leptoni e dei bosoni; neppure il loro numero (tre generazioni di leptoni e tre di quark) è spiegato. Tutti questi parametri sono presi come assunti e vengono utilizzati a destra e a manca. Ecco perché sono liberi: nello SM manca quella brillante spiegazioni che li terrebbe ancorati alla realtà fisica.
La teoria delle stringhe risolve questi problemi ammettendo, come vi avevo già detto tempo fa, che i valori delle masse e delle altre quantità derivino da particolari modi vibrazionali di queste stringhe fondamentali. Chiaramente ci sono dei problemi a questo proposito; Veneziano si è soffermato soprattutto su due cose: ci sono due particolari modi di vibrazione che danno origine a due particelle alquanto esotiche; la prima ha massa nulla e spin 2 ed è il famoso gravitone. La seconda è una particella di massa nulla e spin altrettanto nullo e viene chiamata dilatone. Nessuna di queste due particelle è stata osservata né direttamente né indirettamente e ci sono forti dubbi che esse non esistano neppure, soprattutto per quanto riguarda il dilatone. Quindi, il buon Gabriele, ha terminato la sua lezione trattando gli sviluppi recenti e futuri nel campo delle stringhe ma anche ponendo seri quesiti sulla validità di tale teoria. E questo mi ha stupito molto – in bene – perché solitamente i teorici che si occupano di stringhe spacciano per TOE la loro teoria, cosa che è ancora ben lontana dall'esserlo, sia per questa che per la LQG, come ha anche sottolineato Rovelli.
Beh, siccome credo di avervi dato fin troppe informazioni, rimando al prossimo post il perché la LQG si avvicina in modo straordinario alle considerazioni che facevamo tempo fa io ed Ema e quindi perché mi sta simpatica.

Sulla Rinormalizzazione

Stavo per ripondere ai commenti dello scorso post, quando mi sono accorto che il contenuto del commento avrebbe potuto costituire un valido post. Filippo chiede come è possibile che le equazioni di Einstein non siano lineari mentre lo sono quelle di Maxwell e in genere, aggiungo io, quelle che descrivono il Modello Standard. La risposta a questa domanda credo che sia racchiusa in quella che si chiama la "rinormalizzazione" di una teoria. Mi spiego meglio. Le tre forze fondamentali possono essere unite in un unico quadro, come ben sapete voi tutti. Esse sono caratterizzate da costanti di accoppiamento che sono adimensionali. Sappiamo benissimo che \alpha_elettrica = 1/137, e così pure per \alpha_Weak e \alpha_Strong (ovviamente con diversi valori, anche se a dire il vero \alpha_W = 4 \alpha_el, per cui si parla di teoria elettrodebole). Questa adimensionalità non vale però nel caso della costante G. Per convincersene basta seguire questo semplice ragionamento. La legge di gravitazione di Newton, valida, lo ricordo, per masse puntiformi, è del tutto simile alla legge di Coulomb per l'elettrostatica. Si potrebbe interpretare come il limite non-relativistico dell'interazione di scambio (di tipo Yukawa), in cui il quanto di scambio (il cosiddetto gravitone) sia una particella priva di massa, come il fotone. Tuttavia il fatto che nella relazione di Newton appaiano le masse delle particelle pone serie difficoltà. Il perché è presto spiegato. Nel caso elettromagnetico, la teoria delle perturbazioni (che come tutti sanno descrive le interazioni tra particelle) può essere sviluppata in serie (sviluppo di Dyson) e il parametro che vi compare è il numero adimensionale \alpha_el (che chiamerò, d'ora in avanti, semplicemente \alpha). Esso è legato alla costante di accoppiamento e dalla solita \alpha = e^2/4[pigreco] = 1/137, in unità naturali. Con l'apparizione delle masse nell'equazione di Newton V(r) = -GmM/r, la costante G non è più adimensionale, anche nelle unità naturali. E' facile vedere che le dimensioni di G sono [energia] x [lunghezza] x [massa]^(-2). Poiché hc ha dimensioni di [energia] x [lunghezza], si trova che G/hc ha dimensioni di un inverso della massa al quadrato.
Cosa succede se tentiamo di sviluppare una teoria delle perturbazioni (seguendo ad esempio la strada di Feynman) per descrivere le interazioni tra i gravitoni? Sicuramente saprete che le multiple interazioni di scambio quantistiche sono date da integrali sul momento delle particelle virtuali scambiate (quello che prima chiamavo sviluppo di Dyson). Ora, mentre i momenti delle particelle che subiscono l'interazioni sono costretti a seguire i vincoli posti dai valori di laboratorio (ad esempio mi viene in mente l'energia iniziale delle particelle che collidono), nessun vincolo può essere applicato alle particelle virtuali. In merito a questa cosa vi ricordo, miei cari amici lettori, che il momento di un fotone virtuale, ad esempio, è fissato dalla conservazione del momento delle particelle interagenti, solo se viene scambiata una sola particella. Altrimenti bisogna applicare lo sviluppo di Dyson (ricordare ad esempio la teoria ABC svolta con il Pacca). Ne viene che gli integrali divergono quando i momenti delle particelle di scambio tendono all'infinito. Tuttavia, per quanto riguarda il Modello Standard, è possibile trovare un modo affinché i contributi allo sviluppo di Dyson restino finiti e calcolabili. Tale metodo è la cosiddetta rinormalizzazione. La gravitazione, ovviamente, non è rinormalizzabile. C'è infatti un interessante teorema sulla rinormalizzazione che dice che se la costante di accoppiamento ha dimensioni di una potenza inversa della massa, allora la teoria non è rinormalizzabile. Per quanto detto prima, la gravità fa parte di questa categoria di teorie.
Fatte queste premesse, appare chiaro, a mio avviso, che non è possibile formulare una teoria quantistica della gravità con le regole di quantizzazione conosciute. Esse portano ad infiniti nella teoria, e tutti sappiamo benissimo che gli infiniti sono delle brutte bestie. A questo proposito sono state formulate molte teorie che si propongono di risolvere il problema. Qui troverete una lista di tali teorie. Io credo in particolar modo alla LQG. Comunque, vista la lunghezza di questo post, mi fermo qui, ma sono sempre disponibile per ulteriori chiarimenti e precisazioni.