Principio di gauge in QCD

Volevo questa volta continuare il discorso che avevo lasciato a metà qualche tempo fa quando parlavo della simmetria SU(3) rispettata dalle interazioni forti. In effetti mi devo correggere, o perlomeno precisare un po' meglio come stanno le cose. Se vi ricordate, avevo scritto che dato che i colori sono 3, il gruppo di simmetria è l'SU(3). Giusto. Però ho anche detto che i sapori si presentano in 3 generazioni e ce ne sono 2 per ognuna. Vero anche questo. Però i sapori in totale sono 6 (up, down, charm, strange, bottom, top), per cui non è vero che anch'essi rispettano la SU(3). Beh, se presi in due gruppi di tre sapori ciascuno sì. Questo è quanto avevo fatto nel post “Creare Adroni”, cioè avevo assunto i barioni e i mesoni composti solamente dai quark u, d ed s. Questi 3 obbediscono alla SU(3), così come fanno gli altri 3, c, b e t. In totale, quindi, il gruppo di simmetria che governa le dinamiche dei sapori è l'SU(6). Inoltre questo viene “alterato” soltanto dalle interazioni deboli, le uniche in grado di modificare il sapore di un quark. Ma siccome ho detto che i sapori sono 6, due per ogni generazione, il gruppo di simmetria netto delle interazioni deboli è l'SU(2). Infatti le interazioni forti agiscono solo sul colore, ed è per questo che la cromodinamica quantistica (QCD) rispetta la SU(3): la rispetta perché sono i colori a rispettarla. Spero di essere stato chiaro, perché è pure una formalità però è abbastanza importante.
Detto questo, adesso devo riportare la vostra delicata memoria sulle trasformazioni di gauge. So che sono cose che ho scritto un sacco di tempo fa, però servono molto. In particolare serve il principio di gauge che è una sorta di principio di equivalenza (e anche qui dovreste ricordare il mio post sul principio di equivalenza generalizzato). Tale principio sostiene che è praticamente impossibile distinguere lo stato di una particella descritto come interazione di essa con un campo e lo stesso stato descritto come moto libero della particella con un cambiamento locale nella fase della sua funzione d'onda. So che a prima vista può sembrare arabo, soprattutto agli amici non-fisici, ma se ci pensate bene non lo è. Ora, non sto a spiegare questo fatto, che lo si trova ovunque in letteratura, piuttosto al suo legame con la QCD.
Il discorso qui si fa tortuoso ma spero comunque che si riesca a capire almeno l'idea di fondo. Partiamo con il caso più semplice delle interazioni tra fermioni e luce, descritte dalla QED. Le trasformazioni di gauge della QED obbediscono alla simmetria U(1), cioè l'equazione d'onda di una particella libera rimane la stessa se ruotata di una certa fase. Abbiamo quindi un solo parametro libero, ovvero la fase della funzione d'onda della particella che può variare in modo da mantenere invariata la forma dell'equazione d'onda (è quello che si diceva a proposito della covarianza dell'equazione di Schrödinger). Le trasformazioni U(1) sono abeliane, nel senso che non c'è differenza rispetto all'ordine in cui opero le rotazioni (ricordo infatti che un cambiamento di fase matematicamente si traduce nell'introduzione di un termine esponenziale nella funzione d'onda, dove l'esponente, a parte qualche fattore moltiplicativo, è la fase). L'invarianza, o meglio covarianza, della QED rispetto a queste trasformazioni è espressa dalla derivata covariante, che contiene implicitamente la simmetria U(1) dei campi di gauge dei fotoni.
Per le interazioni forti le cose si complicano, in quanto i colori sono tre. Mentre prima avevamo un solo parametro libero su cui poter operare, adesso ne abbiamo tre. La conseguenza è che le rotazioni in questo spazio tridimensionale, detto interno, non sono più indifferenti all'ordine in cui le si effettua, ma dipendono fortemente da questo. Si parla cioè di trasformazioni non-abeliane. Analogamente a quanto si fa in QED, anche in QCD si sfrutta il principio di gauge e si introduce una nuova derivata covariante, la quale, adesso, deve rispettare la simmetria giusta, non più la semplice U(1). Tale simmetria è la famosa SU(3) che entra nella derivata di gauge tramite i generatori del gruppo. Se si fanno i calcoli, la proprietà di non-commutatività di queste matrici (che non c'era nella QED perché il gruppo U(1) è commutativo) fa sì che compaia un termine aggiuntivo nella trasformazione dei campi di gauge che, ora, non è più uno solo – quello elettromagnetico, cioè il fotone – ma sono otto, corrispondenti cioè al numero dei generatori indipendenti del SU(3).
Questo termine aggiuntivo è composto da campi di gauge, i gluoni, e quindi descrive fisicamente le auto-interazioni dei gluoni, possibili sono in QCD e dovute alla non-commutatività del gruppo dei colori.
Tale auto interazione è la presunta causa della proprietà di libertà asintotica dei quark. Questa proprietà, caratteristica ancora una volta soltanto delle interazioni forti, stabilisce che la costante di accoppiamento forte è inversamente proporzionale al quadri-impulso scambiato tra due quark, cioè in pratica alla loro energia. Una costante che non è affatto costante, insomma. E poiché minore è la costante minore è l'accoppiamento, se ne deduce che l'accoppiamento-zero avviene asitoticamente per energie infinite, da qui il termine libertà asintotica. Ora, il motivo di questa asintoticità può essere ricercato nelle auto-interazioni continue dei gluoni che, di fatto, impediscono lo scambio di quark liberi. Tuttavia non è così semplice risolvere questo problema e un modo per farlo è costituito da una variante della QCD 'classica', detta “QCD su reticolo” (in inglese lattice QCD): in poche parole il campo viene quantizzato assumendo che lo spazio sia diviso in griglie, i reticoli, e su questo si costruiscono i campi di gauge dei gluoni. Dicono che questo modo di trattare le cose fornisce la spiegazione cercata per la libertà asintotica dei quark. Ovviamente questi non sono argomenti alla mia portata, quindi davvero non se so di più.

Un bel gruppo

E adesso, parliamo un po' di quella bella cosa che la gente chiama teoria dei gruppi, in particolare del mio caro amico SU(3). Sapete, in questi giorni ci sto dando davvero dentro con questi argomenti e devo ammettere che più la cosa si fa complicata, più mi piace. Allora le cose stanno così: forse ricorderete quando dicevo (lo dicevo?) che le leggi della fisica rispettano alcune simmetrie, più o meno evidenti, il che significa che non cambiano sotto particolari trasformazioni. Prendete un sistema di coordinate e ruotatelo di 180 gradi. Ora ruotate ancora di 180 e, come notate, ritornate al punto di partenza. Quindi due rotazioni fanno ancora una rotazione. Possiamo dire quindi che l'insieme delle rotazioni costituisce un gruppo di simmetria. In particolare la legge di trasformazione può essere un prodotto: per le rotazioni infatti sappiamo che coseni e seni possono essere espressi tramite la notazione esponenziale. Gli angoli compaiono all'esponente, per cui somma di angoli equivale a prodotto di potenze. La regola, che in gergo matematico si chiama rappresentazione, è quindi la moltiplicazione tra gli elementi del gruppo. Nel caso di rotazioni nel piano bidimensionale, queste moltiplicazioni sono commutative, ovvero ab = ba, da cui ab - ba = 0. Tutti i gruppi i cui elementi rispettano questa legge si dicono commutativi o, detta in modo più figo, Abeliani. Gruppi che non soddisfano la relazione di commutazione precedente si dicono non-commutativi (non-Abeliani). Ad esempio, le rotazioni nello spazio 3D non sono commutative, quindi sono non-Abeliane.

Detto questo esistono vari gruppi. Il più semplice è il gruppo U(1), ovvero il gruppo unitario i cui elementi sono numeri complessi di norma unitaria che obbediscono alla regola della moltiplicazione che ho dato prima. Non è un caso che il cerchio complesso è una rappresentazione geometrica del gruppo. Comunque, sto divagando.

Poi ci sono i gruppi cosiddetti "speciali", un esempio di questi è il SO(3) il gruppo delle rotazioni nello spazio 3D. La S sta per speciale mentre la O sta per ortogonale: le matrici di trasformazione sono ortogonali e sono anche speciali, visto che il loro determinante è +1.

Poi c'è il SU(2), che è anche questo speciale ma le cui matrici non sono ortogonali; il loro determinante però ha norma unitaria. E poi c'è il SU(3), una specie di generalizzazione del SU(2). 

La cosa interessante è che esiste un teorema, peraltro non molto difficile da dimostrare, che dice: ogni matrice ortogonale U di trasformazioni infinitesime è esprimibile come l'esponenziale di una matrice antisimmetrica L. Facendo tendere all'infinito queste trasformazioni infinitesime, ottenendo così una trasformazione finita, si può far vedere che queste matrici antisimmetriche che compaiono all'esponente, sono i generatori del gruppo. Questi generatori, nel caso del gruppo SU(2) sono tre matrici quadrate 3 x 3 aventi traccia nulla e determinante unitario. Esse non commutano e le loro relazioni di commutazione definiscono la struttura del gruppo, tramite opportune costanti di struttura.

Per il gruppo SU(3), la richiesta che la matrice U sia unitaria deriva dal fatto che la L è hermitiana. Questo impone che gli elementi di U siano 9 parametri reali. La traccia nulla di L impone un altro vincolo sul numero dei parametri liberi, che in totale fanno 8. E non è un caso che questi 8 generatori sono collegati intimamente agli 8 gluoni ed è per questo che il gruppo SU(3) descrive le interazioni forti tra i quark, interazioni descritte come scambio di otto gluoni "carichi". E non è un caso nemmeno il fatto che la dimensione delle matrici è 3, così come le 3 generazioni di quark e i 3 colori. 

Ma parlerò di questo in un altro momento. Che ne dite? Vi può interessare?

Ah, non c'entra niente (o non direttamente), ma dopotutto sì: la fissa per la fisica teorica e la debolezza dell'euro nei confronti del dollaro, mi hanno spinto all'acquisto di due libri: uno è la tesi di dottorato di Richard P. Feynman sul nuovo approccio dei path integral alla QED. L'altro non lo conosco ma, stando al titolo, non dovrebbe essere male. Parla di simmetrie, per cui deve essere bello per forza.