Proprio un bel libro

Il libro che sto leggendo è meraviglioso, a tratti illuminante. Fa riflettere su argomenti sottili che raramente ci capitano sotto gli occhi. E poi dice cose che io sono anni che vado in giro a raccontare, ma tutti mi prendono per matto, sbagliando. Ma andiamo per ordine.

Il libro si intitola Fearful Symmetry, edito da Princeton Science Library (non so se ne esista una versione in italiano ma ne dubito), e come sottotitolo recita "The search for beauty in modern physics", insomma, argomenti con io ci vado a nozze. Il linguaggio dell'autore, Anthony Zee, è a volte chiarissimo, mentre in altri casi si fa fatica a stargli dietro. Come tutti i saggi scientifici che parlano di fisica teorica, credo che sia un po' difficile per un neofita, a digiuno da concetti astratti e del tutto privo delle conoscenze necessarie, riuscire a capire per filo e per segno tutte le pagine del libro. Certo, può sempre fidarsi di ciò che viene scritto, però, se me lo permettete, non è un grande affare questo. Comunque, nel mio caso, mi sta servendo molto: non tanto didatticamente (ahimè), quanto piuttosto come arricchimento culturale e possibilità di pensare e vedere le cose in modo diverso. Mi spiego meglio con un esempio.

Se andate a scavare tra le pagine di questo blog, ad un certo punto vi imbatterete nella violazione della parità delle interazioni deboli, ovvero il fatto che queste forze sono in grado di distinguere la destra dalla sinistra. La manifestazione nel mondo microscopico di questo fatto è l'esistenza di neutrini sinistrorsi mentre sono assenti quelli destrorsi. Cosa significa? Beh, che tali particelle possono ruotare solo in un senso e non nell'altro e tale proprietà è la chiralità. Ebbene, nel libro leggo che la chiralità è una proprietà caratteristica delle particelle con massa nulla. Perché? Ecco: supponiamo di avere un particella con una certa massa che si muove in una certa direzione, diciamo verso destra. Prendiamo un osservatore e mettiamolo su un aggeggio in modo tale che si muova anch'esso verso destra, solo con una velocità maggiore. Dunque, dal punto di vista dell'osservatore, la particella si muove verso sinistra (cioè si allontana sempre di più da lui, quindi è come se si muovesse in direzione opposta, cioè verso sinistra). Dal momento che la chiralità è definita come la direzione di rotazione della particella rispetto alla sua direzione del moto, l'osservatore e la particella saranno in disaccordo su quale chiralità attribuire alla particella, qualunque sia il suo verso di rotazione. Tuttavia, una particella priva di massa, come il neutrino, per definizione deve muoversi alla velocità della luce. Perciò, essendo la velocità della luce la massima permessa, nessun osservatore sarà in grado di superare la particella e muoversi a velocità superiore. Quindi, la chiralità della particella è una sua proprietà intrinseca.

Vedete? Ci avevate mai pensato prima? Beh, io sinceramente no, perché essenzialmente non mi ero mai posto il problema. Questo libro sulle simmetrie è proprio quello che ci voleva.

Poi, come dicevo poco sopra, questo libro dice anche alcune cose che io sostengo da tempo, come quella secondo cui una teoria fisica non viene creata ma solamente scoperta, in quanto sempre esistita. Le mele cadono oggi, come cadevano al tempo dei romani, come cadevano quando Newton formulò la sua Gravitazione Universale. L'ha formulata, appunto, non creata. Un'altra cosa che ho trovato compatibile con i miei pensieri è il fatto che al liceo - o comunque alle scuole superiori - la fisica e la matematica vengono insegnate come delle cose da sapere, da conoscere, senza preoccuparsi di dare giustificazioni del perché le cose stanno così; tanto meno si fa notare la bellezza della simmetria (e antisimmetria) delle leggi della natura. E' infatti provato che in alcuni casi, almeno in quelli che interessano a noi fisici, i concetti di bellezza e simmetria sono strettamente legati tra di loro: una legge è bella se è simmetrica e - questa è la figata - più simmetria c'è e più la legge è semplice. Ma di questo ne parlerò un'altra volta, assieme al fatto che la teoria della relatività non è affatto una teoria nuova, come spesso viene fatto erroneamente credere.

Principio di gauge in QCD

Volevo questa volta continuare il discorso che avevo lasciato a metà qualche tempo fa quando parlavo della simmetria SU(3) rispettata dalle interazioni forti. In effetti mi devo correggere, o perlomeno precisare un po' meglio come stanno le cose. Se vi ricordate, avevo scritto che dato che i colori sono 3, il gruppo di simmetria è l'SU(3). Giusto. Però ho anche detto che i sapori si presentano in 3 generazioni e ce ne sono 2 per ognuna. Vero anche questo. Però i sapori in totale sono 6 (up, down, charm, strange, bottom, top), per cui non è vero che anch'essi rispettano la SU(3). Beh, se presi in due gruppi di tre sapori ciascuno sì. Questo è quanto avevo fatto nel post “Creare Adroni”, cioè avevo assunto i barioni e i mesoni composti solamente dai quark u, d ed s. Questi 3 obbediscono alla SU(3), così come fanno gli altri 3, c, b e t. In totale, quindi, il gruppo di simmetria che governa le dinamiche dei sapori è l'SU(6). Inoltre questo viene “alterato” soltanto dalle interazioni deboli, le uniche in grado di modificare il sapore di un quark. Ma siccome ho detto che i sapori sono 6, due per ogni generazione, il gruppo di simmetria netto delle interazioni deboli è l'SU(2). Infatti le interazioni forti agiscono solo sul colore, ed è per questo che la cromodinamica quantistica (QCD) rispetta la SU(3): la rispetta perché sono i colori a rispettarla. Spero di essere stato chiaro, perché è pure una formalità però è abbastanza importante.
Detto questo, adesso devo riportare la vostra delicata memoria sulle trasformazioni di gauge. So che sono cose che ho scritto un sacco di tempo fa, però servono molto. In particolare serve il principio di gauge che è una sorta di principio di equivalenza (e anche qui dovreste ricordare il mio post sul principio di equivalenza generalizzato). Tale principio sostiene che è praticamente impossibile distinguere lo stato di una particella descritto come interazione di essa con un campo e lo stesso stato descritto come moto libero della particella con un cambiamento locale nella fase della sua funzione d'onda. So che a prima vista può sembrare arabo, soprattutto agli amici non-fisici, ma se ci pensate bene non lo è. Ora, non sto a spiegare questo fatto, che lo si trova ovunque in letteratura, piuttosto al suo legame con la QCD.
Il discorso qui si fa tortuoso ma spero comunque che si riesca a capire almeno l'idea di fondo. Partiamo con il caso più semplice delle interazioni tra fermioni e luce, descritte dalla QED. Le trasformazioni di gauge della QED obbediscono alla simmetria U(1), cioè l'equazione d'onda di una particella libera rimane la stessa se ruotata di una certa fase. Abbiamo quindi un solo parametro libero, ovvero la fase della funzione d'onda della particella che può variare in modo da mantenere invariata la forma dell'equazione d'onda (è quello che si diceva a proposito della covarianza dell'equazione di Schrödinger). Le trasformazioni U(1) sono abeliane, nel senso che non c'è differenza rispetto all'ordine in cui opero le rotazioni (ricordo infatti che un cambiamento di fase matematicamente si traduce nell'introduzione di un termine esponenziale nella funzione d'onda, dove l'esponente, a parte qualche fattore moltiplicativo, è la fase). L'invarianza, o meglio covarianza, della QED rispetto a queste trasformazioni è espressa dalla derivata covariante, che contiene implicitamente la simmetria U(1) dei campi di gauge dei fotoni.
Per le interazioni forti le cose si complicano, in quanto i colori sono tre. Mentre prima avevamo un solo parametro libero su cui poter operare, adesso ne abbiamo tre. La conseguenza è che le rotazioni in questo spazio tridimensionale, detto interno, non sono più indifferenti all'ordine in cui le si effettua, ma dipendono fortemente da questo. Si parla cioè di trasformazioni non-abeliane. Analogamente a quanto si fa in QED, anche in QCD si sfrutta il principio di gauge e si introduce una nuova derivata covariante, la quale, adesso, deve rispettare la simmetria giusta, non più la semplice U(1). Tale simmetria è la famosa SU(3) che entra nella derivata di gauge tramite i generatori del gruppo. Se si fanno i calcoli, la proprietà di non-commutatività di queste matrici (che non c'era nella QED perché il gruppo U(1) è commutativo) fa sì che compaia un termine aggiuntivo nella trasformazione dei campi di gauge che, ora, non è più uno solo – quello elettromagnetico, cioè il fotone – ma sono otto, corrispondenti cioè al numero dei generatori indipendenti del SU(3).
Questo termine aggiuntivo è composto da campi di gauge, i gluoni, e quindi descrive fisicamente le auto-interazioni dei gluoni, possibili sono in QCD e dovute alla non-commutatività del gruppo dei colori.
Tale auto interazione è la presunta causa della proprietà di libertà asintotica dei quark. Questa proprietà, caratteristica ancora una volta soltanto delle interazioni forti, stabilisce che la costante di accoppiamento forte è inversamente proporzionale al quadri-impulso scambiato tra due quark, cioè in pratica alla loro energia. Una costante che non è affatto costante, insomma. E poiché minore è la costante minore è l'accoppiamento, se ne deduce che l'accoppiamento-zero avviene asitoticamente per energie infinite, da qui il termine libertà asintotica. Ora, il motivo di questa asintoticità può essere ricercato nelle auto-interazioni continue dei gluoni che, di fatto, impediscono lo scambio di quark liberi. Tuttavia non è così semplice risolvere questo problema e un modo per farlo è costituito da una variante della QCD 'classica', detta “QCD su reticolo” (in inglese lattice QCD): in poche parole il campo viene quantizzato assumendo che lo spazio sia diviso in griglie, i reticoli, e su questo si costruiscono i campi di gauge dei gluoni. Dicono che questo modo di trattare le cose fornisce la spiegazione cercata per la libertà asintotica dei quark. Ovviamente questi non sono argomenti alla mia portata, quindi davvero non se so di più.

I pretesti di Dee - IV

Mentre da Ema e nei commenti del post precedente si infervora una discussione sull'effetto Doppler, io ho deciso di concludere quella storia sulle interazioni elettrodeboli, così non se ne parla più. Dunque, eravamo rimasti con le definizioni di processi deboli da correnti cariche e neutre. Avevo detto che quelli da correnti cariche violano massimamente la parità. Vediamo un attimo cosa intendiamo con questa affermazione. La mattina, quando andate in bagno, per controllare se siete ben pettinati vi guardate allo specchio. L'immagine riflessa dallo specchio è (quasi) uguale a voi, quindi questo significa che voi, miei cari amici non-fisici, siete invarianti rispetto a riflessione speculare. Anche in fisica le cose funzionano così: le leggi della meccanica classica non cambiano di sostanza se viene effettuata questa riflessione speculare. Per farla è sufficiente sostituire nelle equazioni una variabile che sia l'opposta di quella originaria, ovvero si "cambia il segno" della variabile. Questa operazione di simmetria va sotto il nome di parità e si indica con (che fantasia, direte voi). Naturalmente esistono anche altri tipi di simmetrie come quella per inversione temporale T e la coniugazione di carica C. La simmetria T è in sostanza come la P: si sostituisce, al posto della variabile temporale t, il suo opposto, -t. In pratica, se una legge descrive il moto con velocità uniforme in una data direzione, essa descrive il moto nella stessa direzione ma all'indietro (nel tempo). So che è un concetto abbastanza delicato, e per questo non insisterò. Quello però di cui voglio occuparmi è dell'altra simmetria, la C. L'operazione di C-simmetria consiste nel trasformare una particella nella sua corrispondente antiparticella, ovvero di invertire i suoi numeri quantici. Ci sarebbero da dire molte cose sui numeri quantici delle particelle e l'effetto che C ha su di loro, ma per il momento basta sapere che l'effetto netto è quello di trasformazione: particella --> antiparticella.

Per quanto ho detto, appare a mio avviso abbastanza chiaro il significato della frase di cui sopra: i processi deboli da corrente carica non sono invarianti per riflessione speculare. Questo significa che se un’interazione debole avviene in una determinata direzione, nella direzione opposta avverrà una interazione diversa, non uguale alla prima. Questo è anche visibile abbastanza chiaramente da questa considerazione. In fisica teorica è usuale servirsi di complicate formule matematiche che siano il più compatte possibile ma che allo stesso tempo descrivano quante più cose possibile. A questo proposito un matematico italiano di qualche secolo fa ha inventato un metodo con il quale, da una apparentemente semplice relazione, si possono ricavare importanti informazioni quali ad esempio le leggi del moto e, per quanto riguarda i nostri scopi, le leggi che governano un’interazione. Tale mirabile formula è l’equazione di Lagrange: i più pignoli mi diranno che in realtà dovevo scrivere equazioni di Lagrange. E’ vero, hanno ragione loro: la formula matematica è una sola ma sta a rappresentare tante equazioni quanti sono i parametri in gioco, essendo tali parametri le coordinate lagrangiane. Ma non addentriamoci in questo. La cosa importante è che esiste una funzione, detta con molta fantasia Lagrangiana del sistema, che incorpora tutte le forme di energia che competono a quel sistema. In poche parole, nella Lagrangiana è contenuto tutto quello che a uno può interessare di quel particolare processo. Anche nel caso delle interazioni tra le particelle c’è la Lagrangiana di interazione, e quella che riguarda i processi deboli è particolarmente interessante. Lasciando stare il come venga fuori la roba che sto per dirvi, perché penso che lo sappiano soltanto un paio di persone al mondo e una di queste è sicuramente Weinberg, vi dico che questa Lagrangiana contiene la somma di due contributi che vanno applicati alla funzione d’onda opportuna (vi ricordate la storia della funzione d’onda?). Il primo pezzo rappresenta uno stato con parità positiva, o meglio, con chiralità positiva (in sostanza la chiralità è la proiezione dello spin sulla direzione del moto. A dire il vero questa è l’elicità, ma siccome le due solo legate da complesse relazioni e l’effetto è lo stesso, parlerò soltanto di chiralità. Chiralità positiva significa che la particella è destrogira, come ad esempio lo è una vite; chiralità negativa significa che la particella è levogira, in pratica una vite che gira al contrario) e viene applicato alla funzione d’onda delle antiparticelle (o, se volete, all’antifunzione d’onda delle particelle). Il secondo pezzo ha chiralità negativa e viene applicato alla funzione d’onda delle particelle. Quando dunque si vanno a fare i calcoli con questa Lagrangiana si trova una cosa assai strana (che, casualmente, fa rima): i bosoni W si accoppiano solamente a leptoni levogiri e ad antileptoni destrogiri. Questo effetto è particolarmente importante per i neutrini: non si trovano in natura neutrini destrogiri, e questo è indice del fatto che l’interazione debole ha delle preferenze. Bene, dopo avervi illuminati con queste considerazioni che, mi rendo conto, sono un po’ ostili da digerire, passiamo finalmente all’unificazione delle due interazioni, e qui viene il bello. Ma lo vedremo la prossima volta, ovvero domani.

Sul Principio di Equivalenza 3

Comunico a tutto il genere umano che finalmente Ema ha pubblicato il post tanto atteso sul seguito del Principio di Equivalenza. Vi invito caldamente a darci una letta e a rifletterci seriamente.

Io intanto mi sto occupando delle transizioni di fase in regime di falso vuoto, nelle quali la simmetria SU(5) delle GUT si rompe nella SU(4) x U(1).

Principio di Equivalenza Generalizzato

Avevo accennato, alcuni post fa, che vi avrei parlato del principio di equivalenza formulato con la simmetria di gauge. Come prima cosa è bene ricordare cosa intendiamo quando si parla di simmetria di gauge. Questo è un concetto molto importante, grazie al quale si possono formulare le teorie di campo in maniera semplice ed elegante. In natura esistono due grandi tipi di trasformazioni: quelle globali e quelle locali. Per trasformazione globale (anche se più avanti parlerò di invarianza per trasformazione) intendiamo una trasformazione di coordinate tale per cui il suo effetto si riperquote in tutti i punti dello spazio. Per trasformazione locale invece intendo una trasformazione che coinvolge una stretta cerchia di punti, lasciando gli altri invariati. Da queste definizione è chiaro che una teoria che sia invariante rispetto a trasformazioni globali, necessariamente non lo per trasformazioni locali. Tuttavia, introducendo nuovi campi di forza che interagiscono con le particelle originarie in un certo modo - e che trasformano anche in un certo modo sotto trasformazioni locali -, è possibile risptabilire una sorta di invarianza locale. Detto questo, vediamo cosa significa invarianza di gauge. Una trasformazione di gauge è tale per cui le equazioni che descrivono il campo (un qualsiasi campo) rimangono le stesse, a patto di introdurre un nuovo campo scalare. L'invarianza di gauge non è altro che un caso particolare di invarianza locale. Come esempio posso citare l'elettromagnetismo: esprimendo le equazioni di Maxwell servendoci del quadri-potenziale vettore, allora una opportuna trasformazione di tale quadri-vettore lascia inalterate tali equazioni, a patto di inserire nella trasformazione la derivata di un campo scalare. Questo si traduce in quella che si chiama invarianza di fase: le equazioni di Maxwell, sottoposte ad una trasformazione di gauge, rimangono le stesse a meno di una costante, la fase appunto. E' interessante il fatto che l'invarianza di gauge implica la conservazione della carica elettrica. Questo è un punto molto delicato e la sua dimostrazione è affatto semplice; mi limito quindi a dare il risultato. Un altro fatto interessante è che l'equazione d'onda di Schroedinger non è gauge-ivariante. La funzione d'onda cambia in una trasformazione di gauge; tuttavia l'equazione d'onda mantiene la stessa forma, con l'unica differenza che ora la funzione d'onda è quella trasformata. Questa proprietà si esprime dicendo che l'equazione d'onda è gauge-covariante. Non mi addentrerò nei dettagli, rimandando piuttosto a testi specifici.
Quello che mi premeva dire, comunque, era l'analogi tra il princpio di equivalenza e l'invarianza di gauge. Essendo quest'ultima un'invarianza locale, appare chiaro il fatto che esista un legame tra il principio di equivalenza - che si basa proprio sulle trasformazioni locali - e le teorie di gauge. In particolare è stata formulata una teoria di gauge della gravitazione, secondo cui i campi di interazione sono quelli gravitazionali. Di questo non ne parlerò, ma mi soffermo piuttosto sulla prima considerazione.
Non entrando nei dettagli vi dico che è possibile ottenere l'equazione del moto di una particella di massa (inerziale) m_i in uno spaziotempo curvo usando esclusivamente il principio di invarianza di gauge. D'altra parte, le equazioni del campo di Einstein contengono la massa gravitazionale (contenuta nel tensore energia-impulso). L'equivalenza tra le due masse implica che il campo gravitazionale sia descrivibile per mezzo dell'invarianza di gauge. Più precisamente, si può dimostrare il seguente enunciato:

E' sempre possibile effettuare una trasformazione di gauge locale in modo tale che, localmente (ovvero in ogni punto), il campo di gauge si annulla.

Tale enunciato prende il nome di principio di equivalenza generalizzato. Ci sto ancora riflettendo, quindi non vi so dare una valida spiegazione. Soprattutto per il fatto che l'analogia si basa sul principio che governa il Modello Standard che, come sappiamo, è sensibilmente diverso dalla Relatività Generale.
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Metterò, d'ora in avanti, anche una bibliografia minima da cui prendo spunto per questi post illuminanti.
- Aitchinson, I. J. R., Hey, A. J. G., Gauge Theories In Particle Physics (Graduate Student Series In Physics)
- Lyre, H., A Generalized Equivalence Principle, International Journal of Modern Physics (arXiv:gr-qc/0004054v2)
- Toussaint, M., Gauge Theory Of Gravity, Diploma Thesis (qui)