Per quanto riguarda il colore, non ci sono particolari problemi poiché una volta create le particelle (barioni e mesoni che siano), basta imporre che esse abbiano colore neutro. Tutte le combinazioni che rispettano questa regola danno origine a particelle il cui comportamento rispetto alle interazioni fondamentali non cambia. Ad esempio, il pione negativo è composto da un quark d e un anti-u. Se il quark d è rosso, allora l'anti-u deve essere anti-rosso. Così, può accadere che il d sia blu e quindi l'anti-u è anti-blu, e così via. Questi pioni si comportano tutti allo stesso modo.
Per lo spin, invece, le cose si complicano, perché a seconda della direzione degli spin dei singoli quark si hanno particelle diverse, avendo diversi spin e quindi diverso comportamento durante il moto (quella che viene chiamata elicità, proiezione dello spin lungo la direzione del moto). Ad esempio, esistono due tipi di mesoni a seconda degli spin: vettori o pseudoscalari. Anche i barioni sono di due tipi: quelli a spin-1/2 (come protone e neutrone) e a spin-3/2 (come le risonanze del protone).
Come formare adroni a partire dagli stati di base ce lo dice il gruppo SU(3). Più o meno io avevo capito, in formule, come farlo però è sempre stato un tabù capire perché c'era un otteto di mesoni e un singoletto. Ma soprattutto era un tabù la vera e propria creazione di queste particelle. Stessa cosa dicasi per i barioni. Qualche giorno fa, però, giocherellando con i triangoli, ho trovato un modo molto semplice ed intuitivo basato su semplici regole geometriche per creare mesoni e barioni. Cioè, non è che l'ho scoperto io: io ho trovato la regola che vado a spiegare, ma penso che sia una regola generale, implicitamente contenuta in tutti i libri di testo ed articoli. Infatti si trovano spesso disegni di otteti e decupletti di barioni ma da nessuna parte è spiegato operativamente come si faccia ad ottenerli.
MESONI
Essendo composti da 2 quark, i mesoni si ricavano dal prodotto diretto delle rappresentazioni 3 x anti-3: perché ogni quark ha 3 sapori possibili. Quindi in totale, ci dovrebbero essere 9 mesoni. Ma come costruirli? Ebbene, quello che si fa è di considerare i tre quark u, d ed s come vertici di un triangolo sul piano T - S, dove T è la terza componente dell'isospin e S è la stranezza (per definizione il quark s ha S = -1). Similmente, esiste un triangolo con gli antiquark e per costruirlo basta invertire i segni dei numeri quantici del primo triangolo. Quindi, la regola 3 x 3, mi dice che devo moltiplicare tra loro questi due triangoli. Questo si fa tenendo fisso il triangolo dei quark e su ogni vertice di questo si costruiscono tre anti-triangoli. Il centro di questi triangoli coincide con il vertice del triangolo base. Si veda la figura(*) (scannerizzata, perché farla al computer è particolarmente laborioso e si perde un sacco di tempo). Tuttavia si nota come al centro ci siano tre particelle: esse non possono essere semplicemente formate dalle coppie u/anti-u, d/anti-d, s/anti-s, perché verrebbero meno alle richieste di antisimmetria della funzione d'onda. Devono perciò essere tre combinazioni lineari. Tuttavia solo due di queste sono indipendenti, e l'altra forma un singoletto a se. E così siamo rimasti con 8 mesoni + 1 spaiato. Ovvero abbiamo effettuato la riduzione 3 x 3 = 8 + 1. Da notare che accade la stessa cosa con i colori.
BARIONI
Qui le cose si complicano, perché i barioni sono composti da 3 quark, quindi abbiamo 3 x 3 x 3 combinazioni possibili. Tuttavia possiamo scrivere 3 x (6 + 3) = (3 x 6) + (3 x anti-3) = (3 x 6) + 8 + 1. Si tratta dunque di scomporre il prodotto diretto 3 x 6, dal momento che, grazie alla trattazione precedente, sappiamo costruire gli 8 + 1. Prima di farlo, però, bisogna tener presente questa cosa: quello che prima era l'anti-triangolo, adesso si è trasformato in un altro triangolo i cui vertici sono composti da due quark ciascuno (anzi, combinazioni lineari di quark). Quindi, il prodotto 3 x 3, dà origine a nove stati composti da tre quark ciascuno: nello specifico, l'otteto costituisce i barioni "normali", cio come il protone e neutrone, e il singoletto è un'altra particella. Per quanto riguarda il 3 x 6, bisogna capire come è fatta la rappresentazione 6. Essa è 6 = 3 + anti-3, cioè adesso devo aggiungere un triangolo ad ogni lato dell'anti-triangolo. Quindi, posso procedere con la moltiplicazione 3 x 6, ovvero tengo fisso il triangolo-6 e, su ogni "vertice" costruisco un triangolo il cui centro coincide con il vertice stesso. Quando adesso dico "vertice" intendo anche le varie intersezioni del triangolo-6. Ottengo a questo punto un triangolo a 10 vertici, dei quali però otto sono "doppi", cioè ho proprio 10 + 8. I dieci stati coincidono con le risonanze Delta(1232) e suoi derivati, mentre l'otteto identifica particelle che sono antisimmetriche rispetto allo scambio dei primi due quark (e non ho capito il loro corrispettivo).
(*) Perdonate i molti errori commessi e la pessima grafica, ma ho fatto tutto ciò in velocità alle undici e mezza di sera, dopo una giornata passata a far contacci. Spero comunque che sia tutto chiaro lo stesso. Un'altra cosa: nello schema dei barioni non ho scritto le singole composizioni di tutte le particelle; avendo capito il metodo basta un po' di tempo (e di voglia) per trovarle tutte.