Principio di gauge in QCD

Volevo questa volta continuare il discorso che avevo lasciato a metà qualche tempo fa quando parlavo della simmetria SU(3) rispettata dalle interazioni forti. In effetti mi devo correggere, o perlomeno precisare un po' meglio come stanno le cose. Se vi ricordate, avevo scritto che dato che i colori sono 3, il gruppo di simmetria è l'SU(3). Giusto. Però ho anche detto che i sapori si presentano in 3 generazioni e ce ne sono 2 per ognuna. Vero anche questo. Però i sapori in totale sono 6 (up, down, charm, strange, bottom, top), per cui non è vero che anch'essi rispettano la SU(3). Beh, se presi in due gruppi di tre sapori ciascuno sì. Questo è quanto avevo fatto nel post “Creare Adroni”, cioè avevo assunto i barioni e i mesoni composti solamente dai quark u, d ed s. Questi 3 obbediscono alla SU(3), così come fanno gli altri 3, c, b e t. In totale, quindi, il gruppo di simmetria che governa le dinamiche dei sapori è l'SU(6). Inoltre questo viene “alterato” soltanto dalle interazioni deboli, le uniche in grado di modificare il sapore di un quark. Ma siccome ho detto che i sapori sono 6, due per ogni generazione, il gruppo di simmetria netto delle interazioni deboli è l'SU(2). Infatti le interazioni forti agiscono solo sul colore, ed è per questo che la cromodinamica quantistica (QCD) rispetta la SU(3): la rispetta perché sono i colori a rispettarla. Spero di essere stato chiaro, perché è pure una formalità però è abbastanza importante.
Detto questo, adesso devo riportare la vostra delicata memoria sulle trasformazioni di gauge. So che sono cose che ho scritto un sacco di tempo fa, però servono molto. In particolare serve il principio di gauge che è una sorta di principio di equivalenza (e anche qui dovreste ricordare il mio post sul principio di equivalenza generalizzato). Tale principio sostiene che è praticamente impossibile distinguere lo stato di una particella descritto come interazione di essa con un campo e lo stesso stato descritto come moto libero della particella con un cambiamento locale nella fase della sua funzione d'onda. So che a prima vista può sembrare arabo, soprattutto agli amici non-fisici, ma se ci pensate bene non lo è. Ora, non sto a spiegare questo fatto, che lo si trova ovunque in letteratura, piuttosto al suo legame con la QCD.
Il discorso qui si fa tortuoso ma spero comunque che si riesca a capire almeno l'idea di fondo. Partiamo con il caso più semplice delle interazioni tra fermioni e luce, descritte dalla QED. Le trasformazioni di gauge della QED obbediscono alla simmetria U(1), cioè l'equazione d'onda di una particella libera rimane la stessa se ruotata di una certa fase. Abbiamo quindi un solo parametro libero, ovvero la fase della funzione d'onda della particella che può variare in modo da mantenere invariata la forma dell'equazione d'onda (è quello che si diceva a proposito della covarianza dell'equazione di Schrödinger). Le trasformazioni U(1) sono abeliane, nel senso che non c'è differenza rispetto all'ordine in cui opero le rotazioni (ricordo infatti che un cambiamento di fase matematicamente si traduce nell'introduzione di un termine esponenziale nella funzione d'onda, dove l'esponente, a parte qualche fattore moltiplicativo, è la fase). L'invarianza, o meglio covarianza, della QED rispetto a queste trasformazioni è espressa dalla derivata covariante, che contiene implicitamente la simmetria U(1) dei campi di gauge dei fotoni.
Per le interazioni forti le cose si complicano, in quanto i colori sono tre. Mentre prima avevamo un solo parametro libero su cui poter operare, adesso ne abbiamo tre. La conseguenza è che le rotazioni in questo spazio tridimensionale, detto interno, non sono più indifferenti all'ordine in cui le si effettua, ma dipendono fortemente da questo. Si parla cioè di trasformazioni non-abeliane. Analogamente a quanto si fa in QED, anche in QCD si sfrutta il principio di gauge e si introduce una nuova derivata covariante, la quale, adesso, deve rispettare la simmetria giusta, non più la semplice U(1). Tale simmetria è la famosa SU(3) che entra nella derivata di gauge tramite i generatori del gruppo. Se si fanno i calcoli, la proprietà di non-commutatività di queste matrici (che non c'era nella QED perché il gruppo U(1) è commutativo) fa sì che compaia un termine aggiuntivo nella trasformazione dei campi di gauge che, ora, non è più uno solo – quello elettromagnetico, cioè il fotone – ma sono otto, corrispondenti cioè al numero dei generatori indipendenti del SU(3).
Questo termine aggiuntivo è composto da campi di gauge, i gluoni, e quindi descrive fisicamente le auto-interazioni dei gluoni, possibili sono in QCD e dovute alla non-commutatività del gruppo dei colori.
Tale auto interazione è la presunta causa della proprietà di libertà asintotica dei quark. Questa proprietà, caratteristica ancora una volta soltanto delle interazioni forti, stabilisce che la costante di accoppiamento forte è inversamente proporzionale al quadri-impulso scambiato tra due quark, cioè in pratica alla loro energia. Una costante che non è affatto costante, insomma. E poiché minore è la costante minore è l'accoppiamento, se ne deduce che l'accoppiamento-zero avviene asitoticamente per energie infinite, da qui il termine libertà asintotica. Ora, il motivo di questa asintoticità può essere ricercato nelle auto-interazioni continue dei gluoni che, di fatto, impediscono lo scambio di quark liberi. Tuttavia non è così semplice risolvere questo problema e un modo per farlo è costituito da una variante della QCD 'classica', detta “QCD su reticolo” (in inglese lattice QCD): in poche parole il campo viene quantizzato assumendo che lo spazio sia diviso in griglie, i reticoli, e su questo si costruiscono i campi di gauge dei gluoni. Dicono che questo modo di trattare le cose fornisce la spiegazione cercata per la libertà asintotica dei quark. Ovviamente questi non sono argomenti alla mia portata, quindi davvero non se so di più.