Riprendiamo il discorso dell’altro giorno a proposito della Grande Unificazione, parlando in termini di gruppi. Ho detto che uno dei primi modelli di GUT elaborati negli anni ’70 faceva uso del gruppo SU(5), intendendo il gruppo speciale delle matrici 5 x 5 aventi determinante unitario. Ricorderete che nel caso delle tre interazioni fondamentali, la dimensione del gruppo fissava il numero dei bosoni di gauge; nel caso della QED descritta dal gruppo U(1), il bosone è uno solo, il fotone. Nel caso dell’interazione debole, descritta dal gruppo SU(2), ci sono tre bosoni, i due W carichi e il Z neutro. Nel caso delle interazioni forti si avevano otto gluoni, combinazioni lineari dei tre colori e dei tre anticolori. (Non sono 9 perché, essendo il gruppo SU(3) a traccia nulla, per forza di cose solo 8 elementi sono indipendenti.)
Nel caso della SU(5), oltre ai bosoni già menzionati ce ne dovrebbero essere altri due aggiuntivi, per un totale di 1 + 3 + 8 + 2 = 14 bosoni. Chiamiamo questi due bosoni X e Y. Non possiamo disfarci di questi due bosoni, perché è la teoria che li obbliga ad esistere. Se non li vogliamo, dobbiamo abbandonare l’idea del gruppo SU(5). I bosoni X e Y hanno una massa molto grande, dell’ordine dell’energia di GUT. Il perché di questa cosa è da ricercarsi nelle combinazioni, cosa che facciamo subito.
Il problema è trovare le rappresentazioni del gruppo SU(5), in particolare le loro dimensioni. La definizione di dimensione di una rappresentazione dice essa è il numero di elementi che appartengono ad una rappresentazione. Ad esempio, la rappresentazione 8 del gruppo SU(3) aveva 8 elementi (gli otto gluoni) e quella è la sua dimensione. La dimensione di una rappresentazione non è da confondere con la dimensione che definisce il gruppo: essa è chiaramente 5, per SU(5). Di seguito scriverò userò la notazione di scrivere in grassetto la rappresentazione di un gruppo. E’ possibile ottenere rappresentazioni con dimensioni maggiori di quella del gruppo semplicemente “incollando” altre rappresentazioni. Come esempio, supponiamo di dover combinare un quadrato e un cerchio e che ognuna di queste figure si presenti in cinque differenti colori. Avremo quindi 5 x 5 = 25 possibilità di combinazioni. Tuttavia nel fare questa operazione non abbiamo tenuto conto del fatto che combinando un cerchio blu con un quadrato giallo, ad esempio, e facendo la differenza con un cerchio giallo e un quadrato blu, si ottiene 0. Dobbiamo stare attenti che ciò non accada; quindi il numero delle combinazioni diminuisce, in quanto i colori delle due figure devono essere diversi. In particolare, se abbiamo 5 colori per il cerchio, il quadrato dovrà avere 4 colori, in modo da evitare le combinazioni nulle. Questo porta a 5 x 4 = 20. E’ chiaro che sono ancora troppe. Per capirlo cambiamo esempio: consideriamo una squadra di tennis che schiera cinque giocatori. Per le partite di doppio, il numero di combinazioni possibili sono proprio 5 x 4. Ma ovviamente quelle reali sono la metà, dal momento che la coppia Beppe-Gigi è la stessa di Gigi-Beppe. In totale, quindi, abbiamo ottenuto una rappresentazione a 10 dimensioni.
Adesso consideriamo i quark e i leptoni e vediamo se tutto quello che abbiamo detto corrisponde. Prendiamo la prima famiglia di quark, u e d, e la prima di leptoni, elettrone e neutrino elettronico. Ognuno dei quark u e d compare in tre diversi colori, quindi in totale abbiamo 3 x 2 = 6 quark. L’elettrone ha due possibili orientazioni dello spin, cioè due differenti campi, mentre il neutrino ne ha solo uno. Ora mettiamo tutto assieme: sei quark più un elettrone, tutto moltiplicato per due (anche i quark hanno lo spin) tutto moltiplicato per due, a cui va aggiunto il neutrino: totale 15 campi. Ma è straordinario! Infatti, sommando la rappresentazione fondamentale del gruppo SU(5), cioè 5, e quella derivata dalle combinazioni, cioè 10, si ottiene proprio 15.
La prossima volta arriveremo al significato dei bosoni X e Y.
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